Demostrar que $f : [-1, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ , $x \mapsto x^2 + 3x + 2$ es estrictamente creciente.

Question

Demostrar que $f : [-1, 1] \rightarrow \mathbb{R}$ , $x \mapsto x^2 + 3x + 2$ es estrictamente creciente.

Yo sí no tienen uso derivados Así que decidí aplicar la definición de ser una función estrictamente creciente, que debería ser:

Si elegimos 2 números $a$ y $b$ del dominio de una función $f$ , donde $a < b$ entonces $f(a) < f(b)$ .

Ahora (si esa es una definición correcta), he intentado aplicarla a mi caso:

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Dejemos que $a$ , $b \in [-1, 1]$ y $a < b$ . Queremos demostrar que $f(a) < f(b)$ o que $f(b) - f(a) > 0$ .

Sabemos que $x^2 + 3x + 2 = (x + 2)(x + 1)$ por lo que tenemos que $f(a) = (a + 2)(a + 1)$ y $f(b) = (b + 2)(b + 1)$ Por lo tanto, tenemos que demostrar que:

$$(b + 2)(b + 1) - (a + 2)(a + 1) > 0$$

Podemos ver que $(b + 2)$ y $(a + 2)$ siempre será positivo, y que $(b + 2) > (a + 2)$ ya que $b > a$ (por supuesto).

Desde $b > a$ sabemos que $b > -1$ (por lo demás $a \geq b$ ), por lo tanto $(b + 1) > 0$ (por lo que sabemos que $(b + 2)(b + 1) > 0$ . También tenemos como máximo $(a + 1) = 0$ y por lo tanto tenemos que $(a + 2)(a + 1) \ge 0$ .

Así que, aquí está la prueba de que $f(b) - f(a) > 0$ .

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¿Estoy en lo cierto? Si es así, ¿qué puedo mejorar? Si no, ¿dónde están los errores y las posibles soluciones?

Answer 1

Se ve bien. Otro posible enfoque es el siguiente - ya que: $$ f(x)=x^2+3x+2 = \left(x+\frac{3}{2}\right)^2-\frac{1}{4} $$ tenemos que $f(x)$ alcanza su mínimo en $x=-\frac{3}{2}$ (la abscisa del vértice) y para cada $r>-\frac{1}{4}$ la ecuación $$ f(x)=r $$ tiene dos soluciones, simétricas respecto a $x=-\frac{3}{2}$ .

De ello se desprende que $f(x)$ está aumentando con respecto a $\left(-\frac{3}{2},+\infty\right)$ y $[-1,1]$ es sólo un subconjunto de ella.

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También hay otra forma: por cada $\varepsilon>0$ que tenemos: $$ f(x+\varepsilon)-f(x) = \varepsilon(2x+\varepsilon)+3\varepsilon>\varepsilon(2x+3) $$ por lo que $x\in[-1,1]$ implica $(2x+3)>0$ entonces $f(x+\varepsilon)>f(x)$ es decir $f$ creciente.

Answer 2

La prueba dada me parece bien, modulo mi comentario (ver arriba).

Esta es otra forma de verlo, sin cálculo:

Elija $x_1, x_2 \in [-1, 1]$ con $x_1 > x_2$ . Entonces

$f(x_1) - f(x_2) = x_1^2 + 3x_1 + 2 - x_2^2 - 3x_2 - 2 = x_1^2 - x_2^2 + 3(x_1 - x_2)$ $= (x_1 + x_2)(x_1 - x_2) + 3(x_1 - x_2) = (x_1 + x_2 + 3)(x_1 - x_2); \tag{1}$

nota que $x_1 - x_2 > 0$ desde $x_1 > x_2$ y que $x_1 + x_2 + 3 > 0$ desde $x_1 + x_2 > -2$ desde $x_1 > x_2 \ge -1$ . Así,

$f(x_1) -f(x_2) > 0, \tag{2}$

o

$f(x_1) > f(x_2), \tag{3}$

¡y ya está!

Tenga en cuenta que todo lo que realmente necesitábamos era $x_1 > x_2 \ge -1$ .

Por supuesto, con cálculo vemos que $f'(x) = 2x + 3 >0$ para $x \ge -1$ etc. etc. etc. Y como el mínimo se produce en $x = -3/2$ El comentario de Mark Bennet se corrobora.

Answer 3

Tu respuesta es bastante confusa, aunque tu edición la ha mejorado. Pero sigue sin estar claro cómo utilizas el rango de valores que te han dado.

Lo que deberías intentar hacer, para mi preferencia, es reducir tu expresión a algo que sea obviamente positivo. Esto no es difícil. Tenemos $$(b^2+3b+2)-(a^2+3a+2)=(b^2-a^2)+3(b-a)=(b-a)(b+a+3)$$

Si se trata de polinomios, siempre encontrará que $b-a$ que surge en la diferencia, y esto siempre será útil para determinar dónde la función es creciente o decreciente, ya que se puede controlar el signo eligiendo $b\gt a$ y has reducido el grado de la expresión que necesitas considerar - aquí te lleva de cuadrática a lineal, lo cual es fácil.

Answer 4

Sí, para ver más claramente, dejemos $x=a+2, y =a+1, x+c = b+2, y+c = c+2$ , computa $(x+c)(y+c)- xy$ . Observe que $x, c$ son positivos, $y$ es no negativo.

Answer 5

A mí me parece bien. Aunque yo sería más perezoso. Elige $a,b\in[-1,1]$ con $a<b$ . Desde $a \geq -1$ entonces $a+1 \geq 0$ . Desde $b > a$ tenemos también que $b+2,b+1,a+2 > 0$ . Así que: $$\begin{cases} b+2>a+2 >0 \\ b+1 > a+1 \geq 0 \end{cases} \implies (b+2)(b+1) > (a+2)(a+1) \implies f(b) > f(a).$$