Hallar asíntotas de la función exponencial y límite unilateral

Question

Hallar las asíntotas de $$ \lim_{x \to \infty}x\cdot\exp\left(\dfrac{2}{x}\right)+1. $$ ¿Cómo se hace?

Answer 1

A problema relacionado . Utilizaremos la serie de Taylor de la función $e^t$ en el punto $t=0$ ,

$$ e^t = 1+t+\frac{t^2}{2!}+\frac{t^3}{3!}+\dots .$$

$$ x\,e^{2/x}+1 = x ( 1+\frac{2}{x}+ \frac{1}{2!}\frac{2^2}{x^2}+\dots )+1=x+3+\frac{2^2}{2!}\frac{1}{x}+\frac{2^3}{3!}\frac{1}{x^2}+\dots$$

$$ = x+3+O(1/x).$$

Ahora, puedes ver cuando $x$ va a infinito, entonces tienes

$$ x\,e^{2/x}+1 \sim x+3 $$

Este es el gráfico de $x\,e^{2/x}+1$ y la asíntota oblicua $x+3$

Answer 2

Existe una asíntota vertical para la función cuando $x\to0^+$ .

Answer 3

$$\lim_{x \to \infty}\frac d{dx}\left( x\cdot\exp\left(\dfrac{2}{x}\right)+1\right)=\lim_{x \to \infty}\exp\left(\frac2x\right)-\frac{2\exp\left(\frac2x\right)}{x}=1$$ por lo tanto su función se eleva como $x$ asintóticamente.