Dirichlet y el teorema del número primo

Question

Busqué Dirichlets Werke hoy y fue sorprendido por dos de los comentarios que hizo en la p. 354 (Über die Bestimmung ...) y p. 372 (Sur l'usage ...). En el segundo trabajo, afirma (mi traducción)

He aplicado estos principios para una demostración notable de los fórmula dada por Legendre para expresar en forma aproximada manera cuántos números primos que hay por debajo de un arbitrario, pero muy grande, límite.

En una nota manuscrita en la reimpresión que envió a Gauss señaló que $\sum 1/\log n$ (esto es, de Gauss, la versión de la PNT, al menos si se reemplaza la suma por una integral) es una mejor estimación de Legendre.

Estoy un poco perplejo en cuanto a por qué Dirichlet en la reclamación de haber probado el primer número es el teorema no se discute en cualquier lugar en la literatura. O es?

Answer 1

El segundo documento es el Sur l'usage des s\'eries infinies dan la th\'eorie des nombres Crelle $\mathbf{18}$ (1838), 259--274. La cita en Crelle está cerca de la final, en la parte superior de la p. 272. Después de que él dice que él ha determinado algunos significa-valor de las fórmulas para las funciones aritméticas (como suma de los divisores) por técnicas similares. La técnica que se describe es el de la codificación de una secuencia de interés como los coeficientes en una de Dirichlet de la serie y, a continuación, mirando a su (real) de un polo. Este método es sin duda uno de Dirichlet importante descubrimientos, pero el primer número es el teorema de tales de un orden de magnitud más difícil que la de los otros resultados que él enumera aquí que él debe tener erróneamente convencido a sí mismo que podía derivar el teorema de los números primos por su nuevo método justo como él había obtenido otro número de la teoría de límite de leyes.

Sorprendentemente, su notación para la Riemann zeta función (en la p. 272) es de $\varphi(s)$!

Answer 2

Dirichlet del comentario del primer artículo es extraído y traducido de la página 98 del Desarrollo del Primer Número de la Teoría Narkiewicz. Así que esto no ha pasado completamente desapercibido. Narkiewicz observaciones que Dirichlet cree que sus métodos analíticos le permitiría demostrar Legendre de la conjetura, y que de Dirichlet nunca se devuelve al problema.

Dirichlet seguía interesada en el crecimiento asintótico de las leyes ("Asymptotische Gesetze") de funciones aritméticas para el resto de su vida, como se ve desde su 1849 papel con la estimación

$$ \sum_{n \leq x}d(n) = x\log(x) + (2\gamma - 1)x + O(x^{1/2}), $$

y un par de otras estimaciones, y una carta de 1858 a Kronecker reimpreso en Dirichlet del Werke, donde menciona haber obtenido una mejora sustancial en el término de error $O(x^{1/2})$ por un nuevo método.

Desde Dirichlet demostrable no perder el interés en este tipo de preguntas, y nunca regresó a la PNT en la impresión, parece razonable creer que descubrió que su real variable método no ceder el PNT.