La existencia de $p \times p $ matrices $A$ $B$ sobre el campo $\mathbb F_p$, $p$ primer, que $AB-BA=I$.

Question

Deje $p$ ser un número primo. Probar o refutar que existe $p\times p$ matrices $A$ $B$ sobre un campo $\mathbb F_p$$AB-BA = I$.

Con la ayuda de MAPLE yo era capaz de averiguar que esta declaración es válida para$2$$3$. Pero no había sido capaz de demostrar teóricamente. Esta es una tarea de la pregunta y nos gustaría recibir puntos adicionales si resuelto. Cualquier sugerencia(s) que será apreciado. Gracias.

Answer 1

Aquí es una manera de generar tales matrices, a partir de dimensiones infinitas espacios.

Deje $k$ ser un campo y considere el espacio vectorial $ V = k[x]$ de los polinomios en una variable sobre la $k$.

Tenemos dos buenos lineal mapas de $V$ a sí mismo, es decir $D: V\to V$ que es la diferenciación, y $M:V\to V$ que es la multiplicación por $x$.

Ahora observamos que $DM - MD$ es la identidad en $V$, por lo que ahora tenemos de ejemplo cuando se trabaja en un infinito espacio tridimensional.

Para obtener un ejemplo en el caso de $k$ tiene características de las $p$, y el espacio tiene dimensión divisible por $p$ (es decir, queremos que $np\times np$ matrices $A$ $B$ algunos $n$ tal que $AB - BA = I$), se nota que el subespacio $W$ de polinomios divisible por $x^p$ es invariante bajo tanto en $D$ $M$ ($M$ esto es obvio y para $D$ esto es debido a que estamos en el carácter $p$, lo $D(x^p) = 0$).

Así, el cociente $V/W$ tenemos lineal mapas de $\overline{D}$$\overline{M}$, que precisamente cumple ese $\overline{D}\overline{M} - \overline{M}\overline{D} = I$ como queríamos.

Esto nos da $p\times p$ matrices. Para obtener $np\times np$ matrices, simplemente ponemos $n$ copias de estas matrices en la diagonal.

Dejo como ejercicio para el lector interesado en escribir las matrices se encuentran en este camino.