Especificación del teorema de Hurwitz

Question

Teorema de Hurwitz en Teoría de Números establece que para cada número irracional $\xi$ la ecuación $$\left|\xi-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{\sqrt{5}q^2}$$ tiene infinitamente infinitas soluciones $(p,q)$ tal que $p$ y $q$ son relativamente primos, y que esto no es cierto para $$\left|\xi-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{(\sqrt{5}+\varepsilon)q^2}$$ tiene un número finito de soluciones primos relativos para cualquier $\varepsilon>0$ .

Hay un sentido significativo en el que esto es una declaración sobre $\phi=\frac{1+\sqrt{5}}{2}$ porque la prueba de la segunda parte es una propiedad del número $\phi$ y si $\phi$ (además de un conjunto específico de números que equivalen a $\phi$ en cierto sentido), entonces el límite cambia a $2\sqrt{2}$ . Puede que sólo nos interese algún otro número irracional, por lo que podríamos formar el siguiente problema:

Sea $\mu(\xi)$ sea el número único (en caso de que exista) que tiene el propiedad que $$\left|\xi-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{\mu(\xi)q^2}$$ tiene infinitas soluciones $(p,q)$ tal que $p$ y $q$ son relativamente primos, y que $$\left|\xi-\frac{p}{q}\right|<\frac{1}{(\mu(\xi)+\varepsilon)q^2}$$ tiene un número finito de soluciones primos relativos para cualquier $\varepsilon>0$ .

Me interesa saber cuándo $\mu(\xi)$ existe (conjeturo que esto equivale a preguntar cuándo existe $\xi$ tienen coeficientes acotados en su expansión en fracciones continuas), y cuando existe, cómo calcularla (presumiblemente resolviendo una recurrencia). Se aceptan pruebas, referencias y comentarios sobre el estado actual del problema (si no está resuelto).

Para ciertos casos del problema, he encontrado el valor de $\mu(\xi)$ mediante recurrencias. Por ejemplo, he demostrado que $\mu(\sqrt{d})=2\sqrt{d}$ para sin cuadrado $d$ . Sé que esto está relacionado con Números de Markov y el Espectro de Markov Sin embargo, ninguno de ellos responde a mi pregunta.

Se trata del mismo problema que aquí pero estoy buscando el caso general.

Answer 1

Poco claro, es muy probable que, dada la mayor raíz de $$ A x^2 + B xy + Cy^2, $$ (raíz que significa $x/y$ o $y/x$ por lo que se convierte en una función de una variable) del discriminante $$ \Delta = B^2 - 4AC > 0, $$ que quieras $$ \sqrt \Delta $$ Obsérvese que el discriminante de $x^2 - d y^2$ es $4d,$ y su raíz cuadrada es $2 \sqrt d.$

Answer 2

Porque ya creo que se trata de esto: dada una forma binaria $A x^2 + B xy + C y^2$ con $\Delta = B^2 - 4 AC,$ no un cuadrado sino factores cuadrados permitidos.

Si tiene una única solución para $A x^2 + B xy + C y^2 = W,$ hay infinitos, y $|x|,|y|$ se hacen arbitrariamente grandes mientras que $W$ se queda fijo.

Tomemos cualquiera de las infinitas soluciones de $$ \tau^2 - \Delta \sigma^2 = 4. $$ Crear la matriz $$ \left( \begin{array}{rr} \frac{\tau - B \sigma}{2} & -C \sigma \\ A \sigma & \frac{\tau + B \sigma}{2} \end{array} \right) $$

Dada una solución $(x,y)$ a $A x^2 + B xy + C y^2 = W,$ obtenemos infinitas con $$ (x,y) \mapsto \left(\frac{\tau - B \sigma}{2} x -C \sigma y, \; \; A \sigma x + \frac{\tau + B \sigma}{2} y \right) $$

Oh, si tomamos el más pequeño $\sigma > 0$ en $ \tau^2 - \Delta \sigma^2 = 4, $ y llamamos a la matriz resultante $M,$ entonces todas esas matrices se pueden escribir como $M^n$ para $n$ un número entero positivo o negativo.