Demostrar que $2^n3^{2n}-1$ es siempre divisible por 17

Question

Demostrar que $2^n3^{2n} -1$ es siempre divisible por $17$.

Soy muy nuevo en pruebas y yo estaba considerando el uso de la prueba por inducción, pero no estoy seguro de cómo. Sé que usted tiene que empezar por verificar la afirmación es verdadera para el número entero 1, pero no sé dónde ir desde allí.

Answer 1

$$2^n\cdot3^{2n}-1 = 18^n-1 = (18-1)(\cdots) = 17(\cdots)$$

Answer 2

Basado en el OP de la instrucción que ella está tratando de hacer esto de forma inductiva:

Quieres demostrar que para todos los $n$, la declaración "$2^n3^{2n}-1$ es divisible por $17$" es cierto.

La primera cosa a hacer es un aviso de que $2^n3^{2n}-1=18^n-1$.

Después, usted necesita para probar su caso base: es decir, que la conexión de los en $n=1$, el resultado es true.

Último, usted necesita demostrar que si el resultado se mantiene para un determinado $n$, también tiene para $n+1$; es decir, asumiendo que el $18^n-1$ es divisible por $17$, demuestran que, a $18^{n+1}-1$ es también divisible por $17$.

Por medio de una pista para esta última parte, considere la posibilidad de escribir $18^{n+1}=18\cdot 18^n=18^n+17\cdot 18^n$. ¿Hay alguna manera de hacer uso de este?

Answer 3

Sugerencia: $2\cdot3^2=18$ $18\equiv1\pmod{17}$

Si usted no sabe que $$ un\equiv b\pmod{p}\implica un^n=b^n\pmod{p}\etiqueta{1} $$ a continuación, $(1)$ puede ser demostrado por inducción con bastante facilidad.