cardinalidad de los conjuntos infinitos

Question

Probar o refutar:

Si dos conjuntos infinitos $A$ , $B$ tienen la misma cardinalidad, entonces $A\cup B$ y $A$ tienen la misma cardinalidad.

Ni siquiera puedo emitir un juicio.

P.D.: ¿Se puede hacer esto sin usar cardenales? Este concepto aún no se ha introducido en clase.

Answer 1

Desde $A\cup B$ contiene $A$ y tenemos una inyección $A\cup B= A\sqcup(B\setminus A)\to A\sqcup A$ por el teorema de Cantor-Schroeder-Bernstein basta con demostrar $A\sqcup A$ tiene la misma cardinalidad que $A$ siempre que $A$ es infinito.

La idea detrás de la prueba es que sabemos cómo intercalar dos copias de $\mathbb{N}$ Así que escriba $A$ como una unión disjunta de copias de $\mathbb{N}$ e intercalar cada par correspondiente por separado.

En particular, forma una biyección $\mathbb{N}\sqcup\mathbb{N}\to\mathbb{N}$ mediante la proyección de cada copia de $\mathbb{N}$ en los conjuntos de números naturales pares e Impares. Para el general $A$ , considere todas las formas de dividir un subconjunto de $A$ en subconjuntos contables. Estos se ordenan parcialmente por contención, es decir, la partición $P$ está contenida en la partición $Q$ si, para cualquier subconjunto contable $S\subset A$ incluido en $P$ También se incluye en $Q$ . Además, si $\{P_\alpha\}$ es cualquier cadena ascendente de tales particiones, entonces $\bigcup_\alpha P_\alpha$ también es una partición de un subconjunto de $A$ en subconjuntos contables. Así que por el lema de Zorn, hay una partición máxima de este tipo $P$ .

Si $P$ es máxima, entonces $A\setminus\bigcup P$ debe ser finito, o bien podríamos sacar otro subconjunto contable de $A$ y añadirlo a $P$ . A continuación, elija cualquier elemento $S$ de $P$ y sustituirlo por el conjunto contable $S\cup (A\setminus\bigcup P)$ la partición modificada $P'$ es por tanto una partición de $A$ en subconjuntos contables disjuntos.

Por lo tanto, podemos escribir $A\cong \bigsqcup_{S\in P'}\mathbb{N}$ .

Entonces $A\sqcup A\cong(\bigsqcup_{S\in P'}\mathbb{N})\sqcup(\bigsqcup_{S\in P'}\mathbb{N})\cong \bigsqcup_{S\in P'}(\mathbb{N}\sqcup\mathbb{N})\cong\bigsqcup_{S\in P'}\mathbb{N}\cong A$ .