Como otros han mencionado, no es fácil encontrar el geodesics de una superficie dada, así que permítanme abordar algunas de tus otras preguntas.
Vamos a empezar con un caso sencillo. Si una superficie $S$ $\mathbb{R}^3$ es la gráfica de una función de $z = f(x,y)$, entonces la métrica $g$ puede ser representado en las coordenadas de la matriz
$$g = \begin{pmatrix}
1 + (f_x)^2 & f_xf_y \\
f_xf_y & 1 + (f_y)^2
\end{pmatrix},$$
donde los subíndices denotan derivadas parciales.
En el caso de $z = x^2 + y^2$, por ejemplo, tenemos $$g = \begin{pmatrix}
1 + 4x^2 & 4xy \\
4xy & 1 + 4y^2
\end{pmatrix}.$$
Más generalmente, si una superficie $S$ $\mathbb{R}^3$ es administrado por un local de parametrización $\phi(x,y) = (\phi^1(x,y), \phi^2(x,y), \phi^3(x,y))$, entonces la métrica $g$ puede ser representada por la matriz $$g = \begin{pmatrix}
\langle \phi_x, \phi_x\rangle & \langle\phi_x, \phi_y\rangle \\
\langle\phi_y, \phi_x\rangle & \langle\phi_y, \phi_y\rangle
\end{pmatrix},$$
donde yo estoy usando la notación $\langle v, w\rangle = v \cdot w$ para denotar el producto interior (o "producto escalar") en $\mathbb{R}^3$. Por ejemplo, $$\langle \phi_x, \phi_y\rangle = \langle (\phi^1_x, \phi^2_x, \phi^3_x), (\phi^1_y, \phi^2_y, \phi^3_y)\rangle = \frac{\partial\phi^1}{\partial x}\frac{\partial\phi^1}{\partial y} + \frac{\partial\phi^2}{\partial x}\frac{\partial\phi^2}{\partial y} + \frac{\partial\phi^3}{\partial x}\frac{\partial\phi^3}{\partial y}.$$
El caso anterior, cuando la superficie está dada como la gráfica de la función $z = f(x,y)$ es el caso especial donde $\phi(x,y) = (x,y, f(x,y)).$
Tenga en cuenta que la métrica (tensor) clásicamente se llama la primera forma fundamental.
Ahora, personalmente, me gusta pensar en geodesics como unidad de velocidad de las curvas que tienen cero curvatura geodésica (en lugar de curvas que satisfacen la ecuación geodésica).
Decir que una curva de $\alpha(t) = (x(t), y(t), z(t))$ es la unidad de velocidad significa que $|\alpha'(t)| \equiv 1$. (Es un hecho que todos los geodesics tiene velocidad constante.) Decir que una curva de $\alpha$ cero, con una curvatura geodésica significa, así, que la curvatura geodésica $\kappa_g \equiv 0$, donde $$\kappa_g = \langle N \times \alpha', \alpha'' \rangle,$$ where $$ N es la unidad vector normal a la superficie. Un buen aparato para pensar acerca de esta definición es el marco de Darboux.
De todos modos, aquí hay tres más geométrico de los hechos que podrían ayudarle en su búsqueda para geodesics, o al menos su intuición para ellos:
Hecho 1 (Corolario del Teorema de Meusnier): Vamos a $\Pi$ ser un avión que cruza una superficie de $S$. Si en cada punto de intersección del plano de $\Pi$ es perpendicular al plano tangente a $S$, entonces la curva de intersección es una geodésica. (Por ejemplo, una curva que se llama una sección normal.)
Hecho 2: Sobre una superficie de revolución, cada meridiano es una geodésica.
Hecho 3 (el Teorema de Clairaut): Vamos a $S$ una superficie de revolución, vamos a $\alpha$ ser una curva en $S$ con velocidad de unidad, vamos a $\rho\colon S \to \mathbb{R}$ ser la distancia de un punto de $S$ al eje de rotación, y deje $\psi$ ser el ángulo entre el $\alpha'$ y los meridianos de $S$.
Conclusión: Si $\alpha$ es una geodésica, a continuación, $\rho \sin \psi$ es constante a lo largo de $\alpha$. Por el contrario, si $\rho \sin\psi$ es constante a lo largo de $\alpha$, y si ninguna parte de $\alpha$ es parte de algunos paralelo de $S$, $\alpha$ es una geodésica. (cf. Clairaut de la Relación.)
Observaciones: me suele visualizar Hecho 1 mediante la consideración de un cilindro circular recto (probar esto!). Hecho 2 debe darle algunos de los geodesics en el paraboloide elíptico $z = x^2 + y^2$. Hecho 3 puede ser utilizado para determinar la geodesics en el pseudosphere.
