Posibles Duplicados:
¿Cómo puede una estructura de longitud infinita e infinita superficie, pero tienen finito de volumen?Hola,
Tengo esta pregunta que estoy bastante de cant explicar por qué.
De manera que el área bajo la curva de $$y=\frac{1}{x}$$ de 1 a infinito es igual a $$\lim_{r->\infty } \ln(r) |_1^r = \infty $$
Y el volumen de los sólidos por la rotación de la ecuación sobre el eje x de 1 a infinito es
$$\int_{1}^{\infty} \pi\left (\frac{1}{x} \right )^2 dx$$ en el que se evalúa en el área de $$\pi$$
Así que, ¿cuál es la explicación para el área que está siendo infinito, pero el volumen de un ser finito?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
Esto se llama Gabriel cuerno." No hay mucho para "explicar": simplemente es, como una consecuencia de cómo funcionan las cosas. En resumen, es una paradoja (un resultado que es contrario a las expectativas o la intuición), no es una contradicción.
Usted puede lograr una situación similar si usted se imagina, comenzando con un cilindro de, digamos, la radio de $r$ y la altura de la $h$. El volumen es $\pi r^2h$, el área de la superficie es $2\pi rh$. Si tratamos de hacer que el cilindro más alto y más delgado, así como para mantener el volumen constante, que necesariamente va a aumentar la altura, mucho más rápido de lo que ustedes son la disminución de la radio, debido a la disminución en el radio será cuadrática, mientras que el aumento en la altura será lineal (si disminuye el radio por un factor de $\frac{1}{4}$th, el volumen disminuye por un factor de $\frac{1}{16}$, por lo que sería necesario aumentar la altura por un factor de $16$ mantener); sin embargo, lo que se traducirá en un aumento neto en el área de la superficie (si disminuye el radio por $\frac{1}{4}$ y el aumento de la altura por un factor de $16$, entonces el área de superficie se incrementa por un factor de $4$). Si usted sigue haciendo el cilindro más alto y más delgado y manteniendo el volumen constante, entonces el área de la superficie necesariamente va a crecer sin límite. Así, dispone de un continuo "deformación" de la botella que mantiene el volumen constante, pero el área de la superficie crece sin límite.
Con Gabriel Cuerno que tienen una situación similar (con su figura acostado sobre su lado); intuitivamente, que son la reducción de la radio lo suficientemente rápido que la "longitud" de modo que el volumen total disminuye, pero no tan rápido que la superficie total de la longitud también disminuye. Intuitivamente, el "interior" es cada vez más pequeños lo suficientemente rápido que no importe mucho, pero sólo "suficientemente rápido" de que el exterior no disminuye con la suficiente rapidez.
Es como el hecho de que usted puede añadir un número infinito de números positivos, $$\frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots+\frac{1}{n^2} + \cdots$$ y, sin embargo, obtener un número finito total, pero si es sólo un poco se puede conseguir algo infinito: $$\frac{1}{1} + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \cdots + \frac{1}{n} +\cdots$$ que diverge.
