¿Es esta una prueba adecuada de (-1)(-1) = 1?

Question

Soy un novato en la redacción de pruebas y acabo de comenzar un libro sobre análisis. No tengo ninguna otra experiencia en matemáticas puras ni conocimiento de álgebra abstracta.

Estoy tratando de demostrar que $(-1)*(-1) = 1$. Primero mostraré mi intento y luego seguiré con la técnica estándar que he encontrado en línea. Me gustaría entender por qué se prefiere el segundo método (o quizás el único válido).

Método 1 (mi intento): Se nos dan los nueve axiomas de campo para $\Bbb R$. Usando estos, se ha demostrado (en el texto) que $(-1)x = -x$ para todo $x \in \Bbb R$. Por lo tanto, $(-1)(-1) = -(-1) = 1$ porque tenemos el elemento identidad de la multiplicación $1 \in \Bbb R$ y existe $-1 \in \Bbb R$ tal que $-1$ es el inverso aditivo de $1$.

Método 2 (encontrado mediante búsqueda en Google): Sabemos que $(0)(0) = 0$ porque se demostró (en el texto) que $0x = 0$ para todo $x \in \Bbb R$. Entonces $$(0)(0) = ((-1) + 1)*((-1) + 1) = (-1)(-1) + (-1)(1) + (1)(-1) + (1)(1) \\= (-1)(-1) - 1 - 1 + 1 = (-1)(-1) - 1 = 0$$ Por lo tanto $(-1)(-1) = 1$ porque vemos que $(-1)(-1)$ es el inverso aditivo de $-1$.

¿Es el segundo método simplemente una versión más precisa del primer método, mientras que el primero es excesivamente verbal? ¿O es que de alguna manera el primero está utilizando un razonamiento circular?

Answer 1

Lo haría directamente de la siguiente manera:

$$(-1)(-1)+(-1)\stackrel{Dist.}=(-1)\left[(-1)+1\right]\stackrel{\text{inverso aditivo}}=(-1)\cdot 0\stackrel{text}=0$$

Así que, $\;-1\;$ es el inverso aditivo de $\;(-1)(-1)\;$ , pero también $\;-(-1)=1\;$ es el inverso aditivo de $\;(-1)\;$, entonces por la unicidad de los inversos hemos terminado.

Answer 2

[introducir aquí la descripción de la imagen][1]

[1]: https://i.sstatic.net/QhoZS.jpg y está en la imagen adjunta, por favor, corríjame si me equivoco