Una consecuencia de la ley de los grandes números

Question

Sea $(X_k)_{k=1}$ sean variables aleatorias de Poisson con expectativa $\mu$ , dejemos que $Y_n = \sum_{k=1}^{n} X_k$ . La ley débil de los grandes números establece que, $$\forall \delta>0, \forall \epsilon>0 \, \, \exists N>0\, \,\, s.t.\, \forall n >N \, \, P ( |Y_n/n - \mu| > \delta ) < \epsilon,$$ A partir de esta afirmación, ¿hay alguna forma sencilla de demostrar que existe una constante $q>0$ que no depende de $n$ tal que $\forall n$ , $$P (\, Y_n/n - \mu \geq 0 \, )\, > q \,?$$ Probablemente el hecho de que las variables aleatorias sean Poisson no sea esencial.

Answer 1

El resultado se mantiene y es una simple consecuencia del teorema central del límite.

Para verlo, veamos $Z_n=\frac1{\sqrt{n}}(Y_n-n\mu)$ y $A_n=[Y_n/n-\mu\geqslant0]$ . Entonces $A_n=[Z_n\geqslant0]$ y $Z_n\to Z$ en la distribución donde $Z$ es una variable aleatoria normal centrada no degenerada, por lo que $P[A_n]\to P[Z\geqslant0]=\frac12$ cuando $n\to\infty$ .

Mantenga de esta convergencia el hecho de que $P[A_n]\geqslant\frac14$ para cada $n\geqslant n_0$ entonces $P[A_n]\gt0$ para cada $n\lt n_0$ de ahí $\inf\{P[A_n]\,;\,n\geqslant1\}$ es positivo, QED.