Se $\emptyset$ $X$ cerrado, abierto o clopen?

Question

De hecho, es una pregunta muy básica pero estoy confundido:

(1) En 2013 MSE publica general de la topología de aquí, me dijeron que $\emptyset$ es un conjunto abierto y por lo tanto asumo $X$ debe estar abierto.

(2) Pero en la página de la Wikipedia en clopen establecer aquí, dice que "En cualquier espacio topológico $X$, $\emptyset$ y la de todo el espacio $X$ son tanto clopen."

(3) Y, sin embargo, en otra página de la Wikipedia en conjunto cerrado aquí, "La $\emptyset$ es cerrado, el conjunto es cerrado.

Debo de haber perdido algo. Me pueden ayudar con un veredicto supremo, de una vez por todas, tan seguro como que el sol sale por el este cada mañana, si $X$ $\emptyset$ son abiertos, cerrados o clopen. Por supuesto, estoy hablando de la topología, gracias por su tiempo.

Answer 1

Todos ellos son a la vez abierto y cerrado.

Voy a hacer esto un poco más claro. Por definición de una topología (de wikipedia):

Un espacio topológico es entonces un conjunto de $X$ junto con una colección de los subconjuntos de a $X$, llama abierta y los conjuntos que cumplen los siguientes axiomas:

• El conjunto vacío y $X$ sí están abiertos.
• Cualquier unión de abiertos es abierta.
• La intersección de cualquier número finito de abiertos es abierta.

Tan sólo a partir de la propia definición se deduce que $∅$ $X$ están abiertos.

Además de un conjunto es cerrado (por definición) si el complemento es abierto. Por lo tanto, $∅$ $X$ están cerrados (que son cada uno de los demás complemento).

El término clopen significa que un conjunto es a la vez abierto y cerrado, así que ambos son también clopen.

Answer 2

El primer axioma en la definición de una topología, $X$ $\emptyset$ están abiertos. Sin embargo, los conjuntos cerrados son precisamente aquellos cuyos complementa están abiertas, por definición. Por tanto, el conjunto vacío y $X$, siendo cada uno de los otros complementos, también están cerrados. Por lo tanto, son clopen.

Answer 3

Para decirlo simplemente: conjuntos no son puertas! Estar abierto no significa que el conjunto no es cerrado, y al estar cerrado no implica que el conjunto no es abierto. Sí, el conjunto vacío y el conjunto del espacio son a la vez abierto y cerrado. Otro más dramático ejemplo es: tomar un espacio métrico $X$, con la métrica discreta. A continuación, cada singleton $\{a\}$ (de hecho, cada subconjunto de $X$) es clopen. Bolas $B(a,r)$ radio $r < 1$ están contenidas en $\{a\}$, por lo tanto $\{a\}$ está abierto. Y $\{a\}$ también está cerrado, porque es el complemento del es $X \setminus\{a\} = \bigcup_{b \in X, b \neq a}\{b\}$, una unión de bloques abiertos, por lo tanto abierto.

Answer 4

Un requisito mínimo en cualquier espacio topológico $(X,\tau)$ es que tanto $\varnothing$ $X$ ser abierto conjuntos. Por la definición de conjuntos cerrados, estos requisitos implican que $\varnothing^c=X$ $X^c=\varnothing$ están siempre cerradas.

Para resumir, en cualquier espacio topológico, el conjunto vacío y el conjunto son siempre abiertos y cerrados, por lo tanto clopen.

Su pregunta "se $\varnothing$ $X$ cerrado, abierto o clopen" es básicamente seis preguntas en una sola:

(1) Es $\varnothing$ cerrado? Respuesta: sí.

(2) Es $\varnothing$ abierto? Respuesta: sí.

(3) Es $\varnothing$ clopen? Respuesta: sí.

(4) Es $X$ cerrado? Respuesta: sí.

(5) Es $X$ abierto? Respuesta: sí.

(6) $X$ clopen? Respuesta: sí.