¿Por qué es la representación decimal de \frac17$ $ "cíclico"?

Question

$\frac17 = 0.(142857)$...

con el número en el paréntesis de repetición.

Entiendo que la razón es una fracción de repetición es porque $7$ y $10$ son coprime. Pero esto...cíclico de la naturaleza, es algo que no se observa por ningún otro recíproco de cualquier número natural, que yo sepa (además de los múltiplos de $7$). (si estoy equivocado, espero que puedan encontrar a otros a través de esta pregunta)

Por "cíclico", me refiero a:

1/7 = 0.(142857)...
2/7 = 0.(285714)...
3/7 = 0.(428571)...
4/7 = 0.(571428)...
5/7 = 0.(714285)...
6/7 = 0.(857142)...

Donde todos los de la repetición de dígitos son la misma cadena de dígitos, pero desplazado. No de una simple "son todos los mismos números ordenados de nuevo", pero los mismos dígitos en el mismo orden, pero desplazado.

O tal vez más llamativo, desde el artículo de la wikipedia:

1 × 142,857 = 142,857
2 × 142,857 = 285,714
3 × 142,857 = 428,571
4 × 142,857 = 571,428
5 × 142,857 = 714,285
6 × 142,857 = 857,142

Cuál es acerca de la cantidad de $7$ en relación con la base de $10$ (y su descomposición en factores primos de $2\cdot 5$?) que permite su recíproco a comportarse de esta manera? Es (y sus múltiplos) los únicos que tienen esta propiedad?

Wikipedia tiene un artículo sobre este tema, y le da una forma para derivar de ellos y de la construcción arbitraria, pero hace poco para mostrar el "por qué", y la búsqueda de lo que los números han cíclico inversos.

Answer 1

Para un primo p, la longitud de la repetición de bloques de $\frac{1}{p}$ es el menor entero positivo k para los cuales $p|(10^k-1)$. Como en mau la respuesta, $k|(p-1)$, entonces $k\leq p-1$. Cuando $k=p-1$, entonces $\frac{1}{p}$ y sus múltiplos se comportan como se analiza en la pregunta.

De los 100 primeros números primos, esto es cierto para 7, 17, 19, 23, 29, 47, 59, 61, 97, 109, 113, 131, 149, 167, 179, 181, 193, 223, 229, 233, 257, 263, 269, 313, 337, 367, 379, 383, 389, 419, 433, 461, 487, 491, 499, 503, 509, 541.

(Lista generada en Mathematica usando Select[Table[Prime[n], {n, 1, 100}], # - 1 == Length[RealDigits[1/#][[1]][[1]]]&].)

Answer 2

Funciona con 1/19 = 0.(052631578947368421), mientras que n/13 tiene dos ciclos: 1/13 = 0.(076923), 2/13 = 0.(153846), 3/13 = 0.(230769), 4/13 = 0.(307692), 5/13 = 0.(384615), y así sucesivamente.

Que un ciclo debe aparecer cuando haya un número primo p diferente de la base en la que trabajamos (en base 10 diferentes de 2 y 5) es claro: si se realiza la división, 1/p, tarde o temprano parcial cocientes debe repetirse, y a partir de ese momento, los cocientes se repiten a sí mismos. La longitud del ciclo debe ser un divisor de p-1: puede ser corto (creo que en 1/11 = 0.(09) ) o tener el máximo posible de longitud, como los casos de 7 y 19.

Wikipedia tiene un artículo sobre Cíclico de los números, y algún otro ejemplo es también aquí; por desgracia no hay suficientes regla está dada por un número tiene su inverso cíclico.