Posibles Duplicados:
"Teorema del binomio"-como identidadesLa fórmula binominal describe la expansión de la $n$la potencia de la suma de $(a+b)$:
$$(a+b)^n = \sum_{k = 0}^n {n\choose k}a^kb^{n-k}$$
En el cálculo, no es una generalización de la regla del producto se llama la regla de Leibniz, que describe la expansión de la $n$th derivada del producto de dos funciones de $f$$g$:
$$(fg)^{(n)} = \sum_{k = 0}^n {n\choose k}f^{(k)}g^{(n-k)}$$
No es difícil demostrar que el uso de la regla del producto y la inducción, lo que realmente estoy tratando de entender aquí es por eso que la fórmula es verdadera. Es allí una manera de demostrar que el uso de la fórmula binominal? ¿Cómo son estas dos fórmulas relacionadas? Hay una combinatoria de prueba para Leibniz la regla como lo hay para la fórmula binominal?
Entiendo que esta pregunta es un poco vago, pero espero que usted estará de acuerdo en que estas dos fórmulas parecen tan similares sólo se siente como debería haber alguna relación entre los dos. Por supuesto, esto no es necesariamente cierto, pero estoy esperando que sea no sólo un loco coincidencia.
Respuestas
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sewo
Puntos
58
Hay una correspondencia formal entre las dos normas. Ambos pueden ser entendidos como casos especiales de:
Resumen teorema del binomio. Supongamos que tenemos:
- Un espacio vectorial (o incluso de un módulo) $V$.
- Una familia de "condiciones generales" $(T_{i,j}\in V)_{i,j\in\mathbb N}$.
- Lineal operatior $F: V\to V$, de tal manera que $F(T_{i,j}) = T_{(i+1),j} + T_{i,(j+1)}$.
A continuación,$F^n(T_{0,0}) = \sum_{i=0}^n \binom{n}{i} T_{i,(n-i)}$.
El ordinario teorema del binomio resultados si tomamos $F$ a ser la multiplicación por $(a+b)$ $T_{i,j}=a^ib^j$ -- en particular,$T_{0,0}=1$.
La regla de Leibniz resultados si tomamos $F$ $\frac{d}{dx}$ $T_{i,j}=f^{(i)}g^{(j)}$ -- en particular,$T_{0,0}=fg$.
