Sobre un ejemplo de haz normal de una curva sobre una superficie

Question

Conozco la definición del haz normal $N_{C/S}$ de una curva $C$ sobre una superficie $S$ como el núcleo de la inyección $T_C \subset T_S|_C$ donde $T$ es el haz tangente .
Me gustaría exponer un ejemplo explícito del haz normal $N_{C|S}$ sobre una superficie $S$ de una curva $C \subset S$ . $S$ es una intersección completa de $4$ cuadriculas $Q_i$ $i=1,...,4$ en el espacio proyectivo complejo $\mathbb{P}^6$ . Así que $S=Q_1 \cap Q_2 \cap Q_3 \cap Q_4$ . En mi suposición supongo que la curva $C=S \cap H$ donde $H$ es un hiperplano del espacio proyectivo de seis dimensiones. Entonces, debido a Bertini, $C$ es una sección hiperplana.
¿Puede alguien ayudar con alguna pista o sugerencia?
Quizás una relación útil. Si utilizo la fórmula adjubction obtengo: $$K_C=(K_S\otimes N_{c/S})|_{C}=K_S|_C\otimes C|_C=K_S|_C\otimes H|_C$$ donde $K$ es el haz canónico.
Que $K_C=2H|_C$ así que usando ambas ecuaciones obtengo $H|_C=N_{C/S}$ . Así que si quiero calcular $H^0(C,N_{C/S})$ debo calcular $H^0(C,H|_C)$ . ¿Alguna idea para calcularlo?
Esta es mi idea para calcular la dimensión del espacio $H^0(C,H|_{C})$ . Puedo tomar la secuencia fundamental de la curva $C$ recibo $$ 0 \rightarrow O_S(-C)\rightarrow O_S \rightarrow O_C \rightarrow 0.$$ La exactitud de la secuencia se mantiene si i multiplica con el haz de líneas $H$ . Así que me sale $$ 0 \rightarrow O_S(H-C)\rightarrow O_S(H) \rightarrow O_C(H) \rightarrow 0$$ .
Esta secuencia induce la siguiente secuencia exacta larga en cohomología $$0 \rightarrow H^0(S,O_S(H-C))\rightarrow H^0(S,O_S(H)) \rightarrow H^0(C,O_C(H)) \rightarrow H^1(S,O_S(H-C)) \rightarrow ....$$ etc.
Me gustaría calcular $H^0(C,O_C(H))$ . ¿Cómo puedo calcular el término restante de la secuencia de cohomología para obtener $h^0(C,O_C(H))$ ?

Answer 1

Bien, supongamos que la característica es $0$ (sobre números complejos). Veamos tu última secuencia exacta:

$$0 \rightarrow H^0(S,O_S(H-C))\rightarrow H^0(S,O_S(H)) \rightarrow H^0(C,O_C(H)) \rightarrow H^1(S,O_S(H-C)) \rightarrow ....$$

En la superficie $S$ , $C=H|_S$ como clases divisoras. Así que sabemos que su primer término tiene dimensión 1 ( $S$ es lisa y simplemente conexa por el Teorema de la Sección Hiperplana de Lefschetz).

El cuarto término tiene dimensión $0$ como $H^1(S,O_S(H-C))=H^{1,0}(S)$ y sabemos que $S$ está simplemente conectada.

Ahora lo que nos queda es calcular $h^0(S,O_S(H))=h^{0,2}(S)$ por la fórmula de la adjunción. Así que sólo tenemos que calcular $\chi(O(S))$ . Ahora se deduce directamente calculando el polinomio de Hilbert de $S$ que $\chi(O(S))=8$ . Por lo tanto $h^0(S,O_S(H))=h^{0,2}(S)=7$ .

Así que sabemos que el número que le interesa, es decir, $h^0(C,O_C(H))=6$ y obviamente vienen dadas por toda la restricción de secciones de hiperplanos. Me parece interesante, y tal vez esta curva $C$ ¿es proyectivamente normal? Tengo demasiado sueño para calcular secciones de hiperplano de grado superior para ver si los números coinciden...