Hay real álgebras de que no tiene una estructura racional constantes?

Question

Tomar un número finito de dimensiones álgebra asociativa $A$ sobre los reales. Fijar una base $\{x_1, x_2, \ldots x_n\}$. La multiplicación es completamente especificado por la especificación de la estructura de las constantes de $c^{ij}_k$ definido por la siguiente ecuación: $$x_i \cdot x_j = \sum_k c^{ij}_k x_k \quad\forall i, j$$ Por supuesto, la estructura de las constantes dependen de la elección de la base.

Mi pregunta es: Existen álgebras de tal manera que no hay opción de base conduce a la estructura de las constantes que son todos racionales?

Mi conjetura ejemplo sería el álgebra se extendió por dos variables$a$$b$, y las relaciones de $a^2 = a, ab = ba = b, b^2 = \sqrt{2}a$, pero no he podido probarlo todavía.

Nota: también se podría preguntar "entero" en lugar de "racional", esto es equivalente.

Answer 1

Buena pregunta! Aquí está una gruesa heurística argumento lo que sugiere que la respuesta debería ser que sí: la estructura de las constantes de la multiplicación por un número finito de dimensiones reales espacio vectorial $V$ de la dimensión de $n$ formulario $n \times n \times n$ tabla de números reales, de modo que el espacio de estos debe tener dimensión $n^3$ (haciendo caso omiso de la asociatividad, ya que es difícil decir cuántos independiente de las limitaciones de esta suma). La acción de cambio de base en estas estructura de las constantes es la acción de $\text{GL}(V)$, lo que ha dimensión $n^2$, por lo tanto el cociente de la estructura constantes por el cambio de base debe tener la dimensión en la mayoría de las $n^3 - n^2$, que en particular, es positivo tan pronto como $n \ge 2$.

Por otro lado, sólo hay countably muchas opciones de estructura racional constantes, incluso antes de que quotienting por el cambio de base. Así que tan pronto como $n \ge 2$ el "genérico" álgebra debe ser un contraejemplo (aunque de nuevo, es difícil decir cómo de fuerte es una restricción de la asociatividad es, tal vez usted necesita para ir de un par de dimensiones mayores).

Edit: Incluyendo unidades, la dimensión de recuento es el siguiente. Si siempre incluimos la unidad como el primer elemento de nuestra base, a continuación, una multiplicación (todavía no se supone que para ser asociativa) en un $(n+1)$-dimensiones reales espacio vectorial $V$ es una tabla de $n \times n \times (n+1)$ números, y la acción de cambio de base es un grupo de dimensión $n^2 + n$ (también queremos ser capaces de añadir la unidad a otros elementos de nuestra base). Así que ahora la dimensión de conteo es

$$n^2 (n + 1) - n^2 - n = n^3 - n$$

cual es positivo tan pronto como $n \ge 2$, por lo tanto, tan pronto como $n+1 \ge 3$, así que esta es la dimensión donde debemos empezar a ver genérico contraejemplos.