Cómo mostrar que la integral es finito para $(x,t)$ tal que $x>0$$t>0$?

Question

Dado $g:[0,+\infty) \rightarrow R$ continua y acotada, vamos $$u(x,t)=\frac{x}{\sqrt{4 \pi}}\int \limits_0^t \frac{1}{(t-s)^{3/2}}e^{\frac{-x^2}{4(t-s)}}g(s)ds$$

Cómo mostrar que la integral es finito para $(x,t)$ tal que $x>0$$t>0$?

He intentado utilizar la $e^{-a} \le \frac{m!}{a^m}$ arbitrarias $m$. Pero todavía no sé cómo conseguir es finito. Estoy en el camino correcto?

Answer 1

Sugerencia. Desde $g:[0,+\infty) \rightarrow R$ es continua y acotada, los problemas potenciales que están cerca de $s=0^+$ y cerca de $s=t^-$.

1. Para $s$ cerca de $0^+$, tenemos $$ \frac{1}{(t-s)^{3/2}}e^{\frac{-x^2}{4(t-s)}}g(s) \sim \frac{1}{t^{3/2}}e^{\frac{-x^2}{4t}}g(0) $$ and the integral '$ \displaystyle \int_{0}\frac{1}{t^{3/2}}e^{\frac{-x^2}{4t}}g(0)\:ds $' es finito.
2. Para $s$ cerca de $t^-$, $$ \frac{1}{(t-s)^{3/2}}e^{\frac{-x^2}{4(t-s)}}g(s) \sim \frac{1}{(t-s)^{3/2}}e^{\frac{-x^2}{4(t-s)}}g(t) $$ and the integral '$ \displaystyle \int^{t}\frac{1}{(t-s)^{3/2}}e^{\frac{-x^2}{4(t-s)}}\:ds $' es finito, utilizando por ejemplo el hecho de que $$ 0<\frac{1}{(t-s)^{3/2}}e^{\frac{-x^2}{4(t-s)}}< \frac{1}{(t-s)^{1/2}} $$ for $s$ sufficiently near $t^-$.

Answer 2

Una manera elegante de mostrar que la integral es finito, es para cambiar la integración de la variable de s a p = 1/(t-s). Tenga en cuenta que ds = dq * (t-s)^2, por lo que deshacerse de el único término que podría provocar divergencia: (t-s)^-3/2. El resultado integral se ve más limpio.