El Gaussiano y la Media de las Curvaturas de un Paralelo de la Superficie

Question

Esta es una tarea problema de la do Carmo. Dado regular de la parametrización de la superficie de $X(u,v)$ definimos el paralelo de la superficie de $Y(u,v)$ por $$Y(u,v)=X(u,v) + aN(u,v)$$ where $N(u,v)$ is the unit normal on $X$ and $a$ is a constant. I have been asked to compute the Gaussian and mean curvatures $\overline{K}$ and $\overline{H}$ of $Y(u,v)$ in terms of those of X, $K$ and $H$. Now, I know how to do this by brute force: calculate the coefficients of the first and second fundamental forms of $Y$ in terms of those of $X$. However, this is a lengthy and messy calculation. do Carmo says that $$\overline{K}=\frac{K}{1-2Ha+Ka^2}$$ and $$\overline{H}=\frac{H-Ka}{1-2Ha+Ka^2}.$$ The denominator of these fractions is actually something that arose earlier in the problem; I calculated $$Y_u\times Y_v=(1-2Ha+Ka^2)(X_u\times X_v).$$ So, it seems like I should be able to calcuate $\overline{K}$ and $\overline{H}$ a partir de este paso inicial. Hay algo que me falta? O, ¿es en realidad sólo la fuerza bruta de cálculo?

Gracias.

Answer 1

Sí, usted puede calcular todos los coeficientes $e,f,g,E,F,G$ y obtener la gaussiana y la media de la curvatura y sí, es tedioso.

He aquí otra manera:

Desde el primer paso, se obtiene : $Y_u\times Y_v=(1-2Ha+Ka^2)(X_u\times X_v)$, es decir, si $N$ $\overline N$ son los vectores normales de $X$$Y$, respectivamente, a continuación, $\overline N\circ Y$ $N\circ X$ coinciden, ya que están en paralelo. Si estas funciones coinciden, a continuación, tenemos las siguientes relaciones :

$$d\overline N(Y_u)=(\overline N\circ Y)_u=(N\circ X)_u=dN(X_u) \tag1$$ $$d\overline N(Y_v)=(\overline N\circ Y)_v=(N\circ X)_v=dN(X_v) \tag2$$

Deje $\overline B$ ser la matriz de $d\overline N$ con respecto al $\{Y_u,Y_v\}$ $B$ la matriz de $dN$ con respecto al $\{X_u,X_v\}$.

Ahora, para calcular el $\overline K$ $\overline H$ necesitamos encontrar la expresión de $\overline B$.

Poner $$B=\begin{bmatrix}b_{11} & b_{12}\\ b_{21} & b_{22}\\ \end{bmatrix}$$

A partir de la definición de $Y$ tenemos: $$Y_u=X_u+a\cdot N_u=(a\cdot b_{11}+1)\cdot X_u+a\cdot b_{21}\cdot X_v$$

$$Y_v=X_v+a\cdot N_v=a\cdot b_{12}\cdot X_u+(a\cdot b_{22}+1)\cdot X_v$$

A partir de estas ecuaciones se puede obtener el "cambio de base" de la matriz : $Q=\begin{bmatrix}a\cdot b_{11}+1 & a\cdot b_{12}\\ a\cdot b_{21} & a\cdot b_{22}+1\\ \end{bmatrix}$$\{X_u,X_v\}$$\{Y_u,Y_v\}$. Luego de la inicial de las relaciones de $(1)$$(2)$, tenemos la siguiente ecuación: $$B=Q\cdot \overline B$$

Desde $Q$ es invertible: $$ \overline B=Q^{-1}\cdot B$$ From this point you can compute the entries of $\overline B$ and calculate $\overline H $ and $ \overline K$.

También se puede observar que, dado $Q^{-1}=(I+a\cdot B)^{-1}$, usted tiene $\overline B=(I+a\cdot B)^{-1}\cdot B \cdot (I+a\cdot B)$. Digamos que $B$ tiene los autovalores $-\lambda_1$$-\lambda_2$, entonces los autovalores de a$\overline B$$\frac{-\lambda_1}{1-a\cdot \lambda_1}$$\frac{-\lambda_2}{1-a\cdot \lambda_2}$, entonces usted puede fácilmente calcular $\overline H$$\overline K$.