El pesimismo y la tristeza aquí viene desde el uso de la noción equivocada. Tenga en cuenta que los límites y colimits de espacios topológicos no homotopically invariante (es decir, no están bien definidas las operaciones en homotopy clases de diagramas de espacios), así que para los propósitos de homotopy teoría no siempre la cosa correcta de hacer. En su lugar usted debe estar buscando en homotopy límites y homotopy colimits, que está en un adecuado sentido de la "deriva functors" de los límites y colimits; en particular, se homotopically invariante construcciones.
Aquí la noticia es mucho mejor. La mejor declaración se produce cuando evitamos basepoints y en lugar de sustituir el grupo fundamental con la fundamental groupoid $\Pi_1(X)$, que es una (mayor) functor de los espacios a las $2$-categoría de groupoids, functors, naturales y transformaciones. Esto es importante porque, $2$- categorías también tienen una noción de homotopy límites y colimits, también llamado $2$-límites y $2$-colimits. Y ahora me reclama que
$\Pi_1$ conserva todos homotopy colimits.
Este es un resumen y de alta potencia de la versión de la Seifert-van Kampen teorema (aunque es cierto que sólo es útil en la medida en que en realidad se puede calcular homotopy colimits). A diferencia de la costumbre de Seifert-van Kampen teorema, es lo suficientemente potente como para permitir que usted para calcular el grupo fundamental de la $S^1$ por la descomposición de dos intervalos que se cruzan en dos puntos; el punto es que el trabajo fundamental con groupoids da la libertad de utilizar más de un punto de base. Este argumento debe ser un lugar en el Marrón de la Topología y Groupoids.
Moralmente este resultado es verdadero, porque el $\Pi_1$ es el homotopy izquierda adjuntos a los "olvidadizos functor" el envío de un groupoid $\Pi$ a su clasificación de espacio $B\Pi$ (un leve generalización de la construcción de Eilenberg-MacLane espacios). El ordinario de Seifert-van Kampen teorema puede ser pensado como dar las condiciones bajo las cuales es posible calcular un homotopy pushout en espacios como un ordinario pushout.
Ejemplo. Deje $G$ ser un grupo que actúa sobre una trayectoria-conectado espacio de $X$ la preservación de un punto de base $x$. El ordinario cociente $X/G$ o $X_G$, es un excelente ejemplo de un colimit que no es un homotopically invariante de la operación: en general el homotopy tipo del cociente es muy sensible a cómo exactamente $G$ actúa en $X$, y no podemos sustituir la acción por un homotopy acción equivalente. En particular, el grupo fundamental de la $X/G$ no está determinado a partir de los datos de la acción de la $G$$\pi_1(X, x)$.
El homotopically invariante de reemplazo es el homotopy cociente o Borel construcción, diversamente anotadas $X//G$ o $X_{hG}$, y dada explícitamente por
$$X \times_G EG$$
donde $EG$ es un contráctiles espacio en el que $G$ actúa libremente y $\times_G$ significa tomar el cociente del producto por la diagonal de la acción de $G$. La idea es que el $X \times EG$ es una "resolución" de $X$ $G$- espacio adecuado para el cálculo de la "deriva functor" de la toma de cocientes.
El resumen de Seifert-van Kampen teorema anterior ahora implica que el grupo fundamental de la $X//G$ es el homotopy cociente de $\pi_1(X, x)$ por la acción de la $G$. Una vez que el trabajo fuera lo homotopy cocientes son para groupoids, este resulta ser precisamente la semidirect producto
$$\pi_1(X, x) \rtimes G.$$
Algo más complicado sucede si usted no es de suponer que $G$ conserva un punto de base o si se utiliza el más general y homotopically definición correcta de "acción de $G$," pero esa es otra historia.
