Abajo está la construcción de dos no es isomorfo grupos, $G_1$ $G_2$ tal que $KG_1 \cong KG_2$ para cualquier campo $K$.
(Mis Dudas están en el interior.)
Considerar dos grupos
$Q_1=\langle x_1,y_1,z_1\ |\ x_1^5=y_1^5=z_1^5=1, [x_1,y_1]=z_1, z_1\ \text{is central}\ \rangle$
$Q_2=\langle x_2,y_2,z_2\ |\ x_2^5=z_2^5=1, y_2^5=z_2, [x_2,y_2]=z_2, z_2\ \text{is central}\ \rangle$.
y deje $\langle u_1\rangle$ grupo cíclico de orden $4$ $\langle u_2\rangle$ grupo cíclico de orden $2$.
Ahora la definición de acciones de $u_i$ en $Q_j$ $(i,j\in \{1,2\})$ como siguiente- $$x_j^{u_i}=x_j,\\y_j^{u_i}=y_j^{24}\\ z_j^{u_i}=z_j^{24}$$
Ahora w.r.t esta acción, podemos definir semidirect productos $Q_i \rtimes \langle u_j\rangle$ y por lo tanto no tiene sentido que los grupos de $$G_1=Q_1 \rtimes \langle u_1\rangle\times Q_2 \rtimes \langle u_2\rangle\\G_2=Q_1 \rtimes \langle u_2\rangle\times Q_2 \rtimes \langle u_1\rangle$$
Ahora tengo que demostrar que $G_1\ncong G_2$, pero su racional álgebras son isomorfos.
Ahora, tanto por $G_1$ $G_2$ tiene el mismo orden, es decir,$125\times 125\times 8=125000$.
¿Cómo debo ir sobre demostrando $G_1 \ncong G_2$?
Lo que yo sé, es que por la definición de $y_i^{x_i}=y_iz_i^{-1}$ $z_i^{x_i}=y^{-1}z^{-1}y$ podemos ver que $Q_i= \langle y_i,z_i \rangle \rtimes \langle x_i \rangle$.
Ahora, Para darse Cuenta- $G_i'=\langle y_1,z_1\rangle \times \langle y_2,z_2\rangle$ $(G_i)^{(5)}=\langle z_2\rangle$.
Ahora, el cálculo escribiendo explícitamente $[a,b]$ para cualquiera de los dos arbitraria de elementos de $G_i$ es un proceso muy tedioso, y mientras trataba de que yo todavía no podía ver cómo $x_i's$ fue eliminado y $[a,b]\in \langle y_1,z_1\rangle \times \langle y_2,z_2\rangle$. Hay un método más corto?
Si suponemos que probar el "darse Cuenta" de la parte, entonces Si $G_1 \cong G_2$, se debe implicar $C_{G_1}(z_2) \cong C_{G_2}(z_2)$. Ahora no es difícil comprobar que $C_{G_1}(z_2)=Q_1\langle u_1\rangle \times Q_2$$C_{G_2}(z_2)=Q_1\langle u_2\rangle \times Q_2 \langle u_1^{2}\rangle$.
Ahora Sylow $2$-subgrupo de $C_{G_1}(z_2)=Q_1\langle u_1\rangle \times Q_2$ $C_{G_2}(z_2)=Q_1\langle u_2\rangle \times Q_2 \langle u_1^{2}\rangle$ son tanto de orden $4$ pero primero es cíclico, es decir,$\langle u_1 \rangle \times \langle 1 \rangle$, y el segundo es no-cíclico, es decir,$\langle u_2 \rangle \times \langle u_1^2 \rangle$. Por lo tanto contradice $C_{G_1}(z_2) \cong C_{G_2}(z_2)$, por lo tanto, demostrar que $G_1 \ncong G_2$
Ahora, todo mi problema radica en darse Cuenta De la parte. Existe una mejor forma para calcular el $G_i'$$(G_i)^{(5)}$.
Ahora, Passman ha demostrado que para cualquier campo $K$, el grupo de álgebras de $KG_1 \cong KG_2$. La prueba es muy tedioso y duro, voy a estar ahogándose en que pronto, pero antes de que me preguntaba si hay algún campo, preferentemente de carácter $0$, puede ser $\Bbb{Q}$ o $\Bbb{C}$, de los cuales dos álgebras de grupo ( $KG_1$ $KG_2$ , para los grupos mencionados anteriormente) son isomorfos, se dio cuenta rápidamente o se demuestra con más facilidad, a continuación, recoger el caso de campo arbitrario.
Gracias de antemano por todas las aportaciones que puede ofrecer.
P. S.- Si algo no tiene sentido, podría tratarse de un error tipográfico, ya que era un montón de escribir. Por favor déjame saber si algo te está molestando.
