Límites inferiores del número de elementos en los subgrupos Sylow

Question

Dejemos que $p$ sea un primo y $n \geq 1$ algún número entero. Además, dejemos que $G$ sea un grupo finito donde $p$ -Los subgrupos bajos tienen orden $p^n$ . Denote por $n_p(G)$ el número de Sylow $p$ -subgrupos de $G$ . Denote el número de elementos en la unión de todos los Sylow $p$ -subgrupos de $G$ por $f_p(G)$ . Estoy interesado en encontrar límites inferiores para $f_p(G)$ que no dependen del grupo $G$ pero sólo en $n_p(G)$ el número de Sylow $p$ -subgrupos.

Por el teorema de Sylow, sabemos que $n_p(G) = kp + 1$ para algún número entero $k \geq 0$ . Si $k = 0$ entonces está claro que $f_p(G) = p^n$ . Si $k = 1$ podemos demostrar que $f_p(G) = p^{n+1}$ . Además, si $k > 1$ entonces por un teorema de Miller (ver esta pregunta ) tenemos $f_p(G) > p^{n+1}$ así que por el teorema de Frobenius $f_p(G) \geq p^{n+1} + p^n$ . También podemos mejorar esto con el teorema de Frobenius para $f_p(G) \geq 2p^{n+1} - p^n$ observando que el número $f_p(G) - 1$ es divisible por $p-1$ .

Mi pregunta es la siguiente:

¿Podemos encontrar un límite inferior mejor para $f_p(G)$ cuando $k > 1$ ?

Supongo que probablemente tendría sentido que cuando $G$ tiene muchos subgrupos de Sylow, entonces hay muchos elementos distintos entre los subgrupos. Por lo tanto, también estoy interesado en la siguiente pregunta:

¿Podemos demostrar que $f_p(G) \rightarrow \infty$ como $k \rightarrow \infty$ ?

Para precisar, lo que pido aquí es una función $g$ satisfaciendo lo siguiente:

1. Para cualquier grupo $G$ con Sylow $p$ -subgrupos de orden $p^n$ y $n_p(G) = kp + 1$ tenemos $f_p(G) \geq g(k)$ .

2. $g(k) \rightarrow \infty$ como $k \rightarrow \infty$

Por supuesto, para ambas preguntas el caso $n = 1$ es fácil, porque entonces sabemos el valor de $f_p(G)$ precisamente. Si $n = 1$ entonces $f_p(G) = (kp+1)(p-1)+1$ así que para ambas preguntas tenemos una respuesta positiva.

Creo que el siguiente ejemplo lo demuestra $f_p(G)$ obtiene valores arbitrariamente grandes. Por el teorema de Dirichlet, existen primos arbitrariamente grandes $q$ tal que $q \equiv 1 \mod{p}$ . Entonces, en un producto directo $G = C_{p^{n-1}} \times H$ , donde $H$ es un grupo no abeliano de orden $pq$ los subgrupos Sylow de $G$ tienen $C_{p^{n-1}}$ como su intersección común. Hay exactamente $q$ Sylow $p$ -subgrupos, porque de lo contrario $G$ sería nilpotente pero su subgrupo $H$ no lo es. Por lo tanto, el número de elementos en el $p$ -Sylow subgrupos es $f_p(G) = q(p^{n} - p^{n-1}) + p^{n-1}$ y esto va al infinito como $q$ va al infinito.

[*] El Teorema de Frobenius dice que cuando $G$ es un grupo finito de orden divisible por $k$ el número de soluciones de $x^k = 1$ en $G$ es un múltiplo de $k$ . Es fácil ver que $f_p(G)$ es el número de soluciones de $x^{p^n} = 1$ en $G$ .

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EDICIÓN POSTERIOR: Bien, la segunda pregunta no es tan difícil si lo he entendido bien. Cualquier Sylow $p$ -El subgrupo está formado por $p^n$ elementos del $f_p(G)$ elementos en la unión, por lo que tenemos la desigualdad $f_p(G)^{p^n} \geq n_p(G) = kp + 1$ y por lo tanto $$f_p(G) \geq (kp+1)^{p^{-n}}$$

que va al infinito como $k \rightarrow \infty$ . Para los grandes $k$ esto es mejor que el límite inferior $f_p(G) \geq 2p^{n+1} - p^n$ . Sin embargo, este es un límite extremadamente débil y no es tan interesante, me parece útil sólo para mostrar que $f_p(G) \rightarrow \infty$ como $k \rightarrow \infty$ .

Answer 1

Para $p$ de primera, $n \geq 1$ y $r \equiv 1 \mod{p}$ , dejemos que $f(p,n,r)$ sea el menor valor posible de $f_p(G)$ entre grupos $G$ donde la mayor potencia de $p$ dividiendo $|G|$ es $p^n$ y $n_p(G) = r$ . Esto sólo tiene sentido si existe al menos un grupo de este tipo, por lo que cuando hablamos de $f(p,n,r)$ asumimos que este es el caso.

Utilizando esta notación, la pregunta original podría formularse como sigue:

Para los fijos $p$ y $n$ encontrar un buen límite inferior para $f(p,n,r)$ en términos de $r$ . ¿Cómo es que $f(p,n,r)$ crecer como $r \rightarrow \infty$ ?

Según el teorema de Miller, $f(p,n,1) = p^n$ , $f(p,n,p+1) = p^{n+1}$ y $f(p,n,r) \geq (2p-1)p^n$ cuando $r \geq 2p+1$ . También es posible demostrar que $f(p,n,2p+1) = (2p-1)p^n$ . Ver mi respuesta a esta pregunta en MO . Además, es fácil demostrar que $f(p,1,r) = (p-1)r + 1$ . Calcular el valor exacto (incluso encontrar un límite inferior mejor) para $f(p,n,r)$ parece difícil en otros casos.

Este es un ejemplo que sugiere que el crecimiento de $f(p,n,r)$ es lento en general. Esto implica que el crecimiento es más lento que el lineal cuando $p = 2$ y $n > 1$ .

Dejemos que $q \equiv 3 \mod{8}$ sea primo y que $G = \operatorname{PSL}(2,q)$ . Entonces el Sylow $2$ -subgrupos de $G$ tener orden $4$ . En este caso $n_2(G) = \frac{q(q-1)(q+1)}{24}$ y

$$f_2(G) = \frac{q(q-1)}{2} + 1 = 4 \cdot (n_2(G)\frac{3}{q+1} + \frac{1}{4})$$

Para $n \geq 2$ , defina $H = G \times C_{2^{n-2}}$ . Ahora $n_2(H) = n_2(G)$ y $f_2(H) = 2^{n-2} f_2(G) = 2^n (n_2(G) \frac{3}{q+1} + \frac{1}{4})$ .

Esto demuestra que $f(2,n,r) \leq 2^n(\frac{3r}{q+1} + \frac{1}{4})$ cuando $r = \frac{q(q-1)(q+1)}{24}$ .

Por lo tanto, no hay una constante $C > 0$ tal que $f(2,n,r) \geq Cr$ para todos $r \equiv 1 \mod{p}$ ya que hay infinitos primos $\equiv 3 \mod{8}$ .

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Preguntas: ¿Existe un ejemplo similar para $p > 2$ ? Para $n > 1$ ¿es posible hacerlo mejor que $$f(p,n,r) \geq r^{p^{-n}}$$

en general? Es decir, ¿podemos encontrar un límite inferior que crezca más rápido que $r^{p^{-n}}$ ?

(La desigualdad anterior se deduce del hecho de que todo Sylow $p$ -el subgrupo contiene $p^n$ elementos de la unión de Sylow $p$ -subgrupos, por lo que $f_p(G)^{p^n} \geq n_p(G)$ .)

Answer 2

Se obtiene la bonita relación $$\frac{f_p(G)-1}{|G|_p-1} \leq n_p(G)$$ porque el $f_p(G)-1$ sin identidad $p$ -Los elementos se encuentran en un subconjunto de tamaño $|G|_p-1$ que consiste en los elementos no identitarios de algún Sylow $p$ -subgrupo. En caso de que el Sylow $p$ -se cruzan trivialmente, obtenemos la igualdad y la fracción cuenta exactamente el Sylow $p$ -subgrupos.

En lo que respecta a las $f$ Esto es $f(p,n,r) \leq r(p^n-1)+1$ . Esto es obviamente un límite superior, pero a menos que el Sylow $p$ -subgrupo es cíclico, esto es bastante raro (Suzuki).

En general, el Sylow $p$ -los subgrupos pueden solaparse, y he estudiado cuánto pueden solaparse. Si el Sylow $p$ -está restringido a ser abeliano elemental de orden 4, entonces se puede demostrar que $$\frac{f_p(G)-1}{|G|_p-1} \geq n_p(G)^{2/3} \quad \text{if } p=2, |G|_p=4$$ con igualdad obtenida para un grupo de orden $4(2k+1)^3$ y $n_p(G)=(2k+1)^3$ .

Un grupo específico que realiza el límite viene dado por $$\scriptsize G(2k+1) = \left\langle \newcommand{\m}[1]{\left[\begin{smallmatrix}#1\end{smallmatrix}\right]} \m{ -1 & . & . & . \\ . & -1 & . & . \\ . & . & 1 & . \\ . & . & . & 1 }, \m{ 1 & . & . & . \\ . & -1 & . & . \\ . & . & -1 & . \\ . & . & . & 1 }, \m{ 1 & . & . & 1 \\ . & 1 & . & . \\ . & . & 1 & . \\ . & . & . & 1 }, \m{ 1 & . & . & . \\ . & 1 & . & 1 \\ . & . & 1 & . \\ . & . & . & 1 }, \m{ 1 & . & . & . \\ . & 1 & . & . \\ . & . & 1 & 1 \\ . & . & . & 1 } \right\rangle \leq \operatorname{GL}(4,\mathbb{Z}/(2k+1)\mathbb{Z}) $$ Aquí $f_p(G(2k+1))=3(2k+1)^2+1$ y $n_p(G)=(2k+1)^3$ . En particular para $k\geq 2$ hay menos $2$ -elementos que Sylow $2$ -subgrupos; esto no puede ocurrir con Sylow cíclico $p$ -subgrupos. El límite mismo se demuestra considerando los centralizadores de las involuciones como se hace en Gorenstein-Walter.

En lo que respecta a las $f$ obtenemos $$f(2,2,(2k+1)^3) =r^{2/3}(p^n-1)+1.$$ (La igualdad se desprende de un resultado de Wielandt, más fácilmente comprensible en los trabajos de Gorenstein-Walter; nótese que los grupos cíclicos de orden 4 no entran en él).

En general, obtenemos $$f\left(p,n,(pk+1)^{(p^n-1)/(p-1)}\right) \leq r^{ \left((p-1)p^{(n-1)}\right)/\left(p^n -1\right)}(p^n-1)+1$$ con igualdad conjeturada (porque seguramente el mínimo se obtiene para abelios elementales $p$ -grupos; este es el mínimo para $P \cong(\mathbb{Z}/p\mathbb{Z})^n$ por un argumento similar al de Gorenstein-Walter).

En lugar de utilizar " $n$ "como segundo parámetro, mis estudios utilizaron el Sylow $p$ -subgrupo $P$ o, más concretamente, el sistema de fusión inducido en $P$ por $G$ . Para los abelianos $P$ Esto es sólo un $p'$ -subgrupo $N_G(P)/C_G(P)$ de $\newcommand{\Aut}{\operatorname{Aut}}\Aut(P)$ pero en general puede incluir subgrupos $N_G(Q) /C_G(Q)$ de $\Aut(Q)$ para $Q \leq P$ también. En cualquier caso, en estos casos las ideas de Wielandt, algo de optimización lineal y algunos ejemplos explícitos proporcionaron límites ajustados. Ninguno fue mejor que el abeliano elemental con fusión trivial; esto es de esperar ya que las superposiciones implican un gran grado de uniformidad en $P$ pero una estructura de poder no trivial, una estructura de conmutador no trivial o una fusión no trivial restringirían la forma en que las copias de $P$ podrían superponerse.

Los grupos específicos que realizan el límite para el general $P\cong \mathbb{Z}/p\mathbb{Z}^n$ son generalizaciones "obvias" de $G(2k+1)$ . Con obvio me refiero a que sólo me tomó unos meses allá por la primavera de 2011 para darme cuenta, pero luego fue obvio.