La máxima versión de la paradoja (que es conocido para mí), dice que si se tienen dos conjuntos de $A, B \subseteq \Bbb R^3$, tanto de los que tienen los no-vacío interior, a continuación, se puede dividir a $A$ hasta en algún número finito $n$ de subconjuntos disjuntos, a continuación, mover los subconjuntos de alrededor de isométricamente para que ellos siguen siendo discontinuo y su unión es ahora $B$.
Más formalmente, si $A, B$ no-vacío interior, existen conjuntos de $A_k, k = 1, ..., n$ tal que $A = \bigcup_{k=1}^n A_k$ $A_j\cap A_k = \emptyset$ al $j \ne k$. Y existen isometrías $f_k, k = 1, ..., n$ $\Bbb R^3$ tal que $B = \bigcup_{k=1}^n f_k(A_k)$ $f_j(A_j) \cap f_k(A_k) = \emptyset$ al $j \ne k$.
Debido a la paradoja, sabemos que si $V : \scr P(\Bbb R^3) \to \Bbb R$ es una función de conjunto, entonces una de estas 3 condiciones debe contener:
- hay distintos conjuntos de $A, B \subseteq \Bbb R^3$ tal que $V(A\cup B) \ne V(A) + V(B)$, o
- hay isometrías $f$ $\Bbb R^3$ y conjuntos de $A \subseteq \Bbb R^3$ tal que $V(A) \ne V(f(A))$, o
- $V$ es constante en todos los conjuntos con el interior.
Editar Añadiendo explicación de por qué al menos una de las tres condiciones que debe tener:
Las dos primeras condiciones son sólo "$V$ no es aditivo" y "$V$ no se conserva bajo isometrías". Así que, si no de aquellos que celebrar, entonces, $V$ es aditivo y se conserva por isometrías. En este caso, vamos a $A$ $B$ dos juegos con el interior. A continuación, por el BTP resultado me dio, podemos escribir $A = \bigcup_{k=1}^n A_k$ $B = \bigcup_{k=1}^n f_k(A_k)$ para discontinuo $A_k$$f_k(A_k)$. Por lo tanto
$$V(A) = V\left(\bigcup_{k=1}^n A_k\right) = \sum_{k=1}^n V(A_k) = \sum_{k=1}^n V(f_k(A_k)) = V\left(\bigcup_{k=1}^n f_k(A_k)\right) = V(B)$$
Por lo tanto si $V$ es aditivo y conservado bajo isometrías, debe tener el mismo valor para todos los conjuntos con el interior (y de hecho, ese valor debe ser $0$, ya que cualquier conjunto con interior es distinto de la unión de otros dos conjuntos con el interior).
El problema es que los tres son violaciones de propiedades que cualquier concepto de "volumen" debe tener:
- El volumen es aditivo: si dos conjuntos son disjuntos, el volumen de su unión debe ser la suma de sus volúmenes.
- El volumen se mantuvo sin cambios por isometrías. El volumen se supone que sólo dependen de tamaño y forma, no localización o la orientación. Así que la mudanza de un conjunto de alrededor de rigidez no debe cambiar su volumen.
- El volumen es, obviamente, no es constante en conjuntos con el interior. La única manera en que podría ser tanto de aditivos y constante es si siempre fue de $0$. Pero el volumen de la unidad de cubo es $1$.
La conclusión es, por tanto, que es imposible definir un concepto de volumen que funciona para todos los subconjuntos de a $\Bbb R^3$.
