Alternativa de la prueba del Teorema de Convergencia Monótona

Question

Deje $(X, \mathfrak{A}, \mu)$ ser una medida en el espacio. Mostrar que la Monotonía Teorema de Convergencia tiene si $f$, $f_{1}$, $f_{2}$, ... son reales-valores de funciones medibles y $f_{1}$ es integrable. Además,

(1) $f_{1} \leq f_{2}...$

y

(2) f = $\lim_{n} f_{n}$ se mantienen en casi todas partes.

Yo: Asumir (1) y (2) mantenga todas partes. A partir de la monotonía de la integral tenemos

$\int f_{1} d\mu \leq \int f_{2} d\mu \leq$ .. $\leq \int f d\mu$.

Tenemos que mostrar el reverso de la desigualdad.

Deje $g^{+}_{n,k}$ $g^{-}_{n,k}$ dos secuencias positivas con valores de funciones simples que

$\lim_{k} g^{+}_{n,k} - g^{-}_{n,k} = f_{n}$ $g^{+}_{n,k} - g^{-}_{n,k} \leq f_{n}$ todos los $k$.

Definir $h_{n}^{+}$$h_{n}^{-}$$h^{+}_{n} = \max_{k}(g_{k,n}^{+}$) y $h^{-}_{n} = \max_{k}(-g^{-}_{k,n})$, $h_{n}^{+}$ $h^{-}_{n}$ no son la disminución medible funciones simples y $\lim_{n} h^{+}_{n} + h^{-}_{n } = f^{+} - f^{-} = f$. También se $h^{+}_{n} \leq f^{+}_{n}$ $h^{-}_{n} \leq -f^{-}_{n}.$ Desde $h^{+}_{n}$ $h^{-}_{n}$ son funciones simples, de la siguiente manera

$\lim_n \int h_{n}^{+} d\mu = \int f^{+} d\mu$ $ \lim_{n} \int h^{-}_{n} d\mu = -\int f^{-} d\mu$

y $\lim_{n} \int h^{+}_{n} + h^{-}_{n} d\mu = \int f d\mu$.

Desde $\int f^{+} d\mu = \lim_{n} h^{+}_{n} d\mu \leq \lim_{n} \int f^{+}_{n}d\mu$ y similarmente $-\int f^{-}d\mu = \lim_{n} \int h^{-}_{n} d\mu \leq \lim_{n} -\int f^{-}_{n}d\mu$

$\int f d\mu = \lim_{n} \int h^{+}_{n} + h^{-}_{n} d\mu \leq \lim_{n} \int f^{+}_{n} - f^{-}_{n} d\mu = \int f_{n}d\mu$.

Supongamos que (1) y (2) se mantienen en casi todas partes, vamos a $N$ ser el formado por todos los $x\in X$ de los que al menos uno de (1) y (2) se produce un error.

A continuación, las funciones $f\chi_{n^{C}}$ $f_{n}\chi_{N^{C}}$ cumple (1) y (2) y por lo tanto

$\int f\chi_{N^{C}} d\mu = \lim_{n} \int f_{n}\chi_{N^{C}}d\mu$ y a partir de esto podemos concluir que

$\int f d\mu = \lim_{n} \int f_{n}d\mu$.

Esto es muy similar a una prueba para la MCT en el libro Teoría de la Medida por Donald Cohn, sin embargo, el libro es positivo para funciones con valores de sólo.

Mi pregunta es si esto es correcto o si me he perdido algo.

En segundo lugar, ¿por qué la restricción de que $f_{1}$ es integrable necesario?

Answer 1

Algunos comentarios mientras estoy leyendo tu prueba y el original de Donald Cohn (que se citan). Estos pueden sonido crítica, pero sólo estoy tratando de elevar su conciencia en los detalles.

• El verso "necesitamos mostrar el reverso de la desigualdad" es un poco desconcertante. Si, por ejemplo, $(X,\mathcal{M},\mu)=([0,1],\text{Leb}([0,1]),m_{1})$ donde $m_{1}$ es la medida de Lebesgue, y elegimos $f_{n}\equiv 1-\frac{1}{n}$ todos los $n\in\mathbb{N}$, $\int f_{n}\,dm_{1}<\int f_{n+1}\,dm_{1}$ todos los $n\in\mathbb{N}$. Así que realmente no hay razón por la inversa de la desigualdad debe mantener, y dudo que esto sea lo que significaba. Quiere mostrar que $\lim_{n} \int f_{n}\,d\mu\geq \int f\,d\mu$.

• La forma en que se definen las funciones de $h_{n}^{+}$ $h_{n}^{-}$ no funciona, es decir, que los define como los máximos de más de un conjunto infinito. Está usted seguro de que estos máximos existe, o debe reemplazarlo con un supremum? Y si usted toma supremum, ¿cuál sería el resultado? Sería de estas funciones, como supremum de funciones simples, ser simples funciones? En cualquier caso, lo que quiero hacer es definir $h_{n}^{+}=\max\{g^{+}_{1,n},...,g^{+}_{n,n}\}$, y $h_{n}^{-}$ de manera similar (pero en lugar de mínimos).

Voy a asumir a partir de ahora, en que las funciones $h_{n}^{+}$ $h_{n}^{-}$ se definen como el anterior. También vale la pena señalar que no se ha definido $f^{+}$ o $f^{-}$ antes de empezar a usar estas anotaciones.

• Tenga en cuenta que la secuencia de $(h_{n}^{-})$ no consiste en no negativo funciones simples, entonces usted no puede usar la Proposición 2.3.3 tal y como está en el siguiente paso. Algo análogo podría ser argumentaron aunque.

• Y aquí viene la situación en la que un cierto nivel de integrabilidad de $f_{n}$ sería necesario: \begin{equation*} \lim_{n}\int h_{n}^{+}+h_{n}^{-}\,d\mu=\int f\,d\mu. \end{ecuación*} Lo que si $\int |f_{n}|\,d\mu=\infty$ todos los $n$? Sería posible que uno de los lados daría $\infty-\infty$ en los pasos en los que se demostró que esta igualdad, que no se definiría?

He aquí una sugerencia para un enfoque alternativo a este resultado, el uso de la MCT no negativos funciones como Donald Cohn ha probado. No creo que usted tiene que hacer la prueba de nuevo.

Tome $f_{1}\leq f_{2}\leq ...\leq f$ como antes y se supone que $f_{1}$ es integrable. A continuación, $0\leq f_{2}-f_{1}\leq f_{3}-f_{1}\leq ... \leq f-f_{1}$ es un no-secuencia negativa, y por lo tanto \begin{equation*} \lim_{n}\int f_{n}\,d\mu-\int f_{1}\,d\mu=\lim_{n}\int f_{n}-f_{1}\,d\mu\overset{MCT}{=}\int f-f_{1}\,d\mu=\int f\,d\mu-\int f_{1}\,d\mu. \end{ecuación*} Desde $-\infty<\int f_{1}\,d\mu<\infty$, entonces esto implica $\lim_{n}\int f_{n}\,d\mu=\int f\,d\mu$.

Edit: tenga en cuenta que la integrabilidad de $f_{1}$ es necesario. Deje $(X,\mathcal{M},\mu)=(\mathbb{R},\text{Leb}(\mathbb{R}),m_{1})$ $f_{n}=-\chi_{[n,\infty)}$ todos los $n\in\mathbb{N}$. Ahora $f_{1}\leq f_{2}\leq ...\leq f=0$, pero $\lim_{n}\int f_{n}\,dm_{1}=-\infty\neq 0=\int f\,dm_{1}$.