(Cfr. Wikipedia para la definición de Primaria de la matriz).
Mira el siguiente fragmento de Jacobson de álgebra Básica, vol.I, 2ª edición, pág.186.
Existen PID en el que no todos los invertible la matriz es un producto de primaria. Un ejemplo de este tipo se da en un papel por P. M. Cohn, En la estructura de la $\text{GL}_2$ de un anillo, el Institut des Hautes Études Scientifiques, nº 30 (1966), pp 5 - 54.
Esto me deja perplejo. Tome una matriz invertible $A$ más de un PID. A continuación, $A$ tiene una Smith forma normal, es decir, hasta elementales de filas y de columnas de operaciones es equivalente a algo como esto
$$\begin{bmatrix} d_1 & && \\ & d_2 &&\\ &&\ddots&\\ &&&d_n\end{bmatrix}.$$
En particular, $\det A= d_1\ldots d_n u$ para algunos la unidad de elemento $u$. Pero $\det A$ necesidades de ser de la unidad, por lo que todos los de $d_i$'s son unidades, lo que significa que hasta algunos otros elementales de fila de operación $A$ es equivalente a la matriz identidad. A mí me parece que sólo hemos demostrado que $A$ es el producto de matrices elementales, lo cual es falso como el de Jacobson.
Debe haber un error en alguna parte, pero ¿dónde?
Gracias.
