Suma de divisor cociente de la desigualdad

Question

Considerar los divisores de $n$, $$d_1 = 1, d_2, d_3, ..., d_r=n$$ in ascending order and $r \equiv r(n)$ is the number of divisors of $$ n.

Es allí cualquier expresión de $f(n) < r(n)$ de manera tal que, $$\sum_{k=1}^{r-1} \frac{d_k}{d_{k+1}} < f(n)$$

O, equivalentemente, de forma generalizada, hay alguna expresión $\phi_a(n) < \sigma_a(n)$ de manera tal que, $$\sum_{k=1}^{r-1} \frac{d_k^{a+1}}{d_{k+1}} < \phi_a(n)$$ for positive integers $$ ?

PS. Buscando un estudio sobre los estrechos límites sobre estas sumas de proporciones. Las eventuales referencias que se agradece.

Answer 1

Esto no es una respuesta completa, pero me gustaría compartir algunos pensamientos. Primero me di cuenta de que $S(p^n)=n/p$ donde $S$ es su primera suma. Esto significa que cualquier buen obligado dependerá probablemente en el conocimiento de la distribución de los factores primos en $n$. Indicar a partir de ahora en el $N$-th prime con $p_n$.

Ahora vamos a considerar $n=pq$ donde $p<q$ son números primos. A continuación,$S(pq)=2/p+p/q$. Si $q$ es fijo, entonces el máximo se dio cuenta cuando p es el más cercano de los más pequeños prime. Tenemos $$S(p_n p_{n+1})=\frac{2}{p_n}+\frac{p_n}{p_{n+1}}\le\frac{2}{p_n}+\frac{p_n}{2+p_n}\rightarrow1$$

Por lo que el $S(p_n p_{n+1})$ números convergen en 1, pero no son estrictamente inferior a 1. Usted puede obtener una explícita obligado a salir de esto si quieres.

Ahora vamos a considerar $n=pqр$ donde $p<q<r$ son números primos.A continuación, $S(pqr)=2/p + 2p/q + 2q/r + r/pq$ si $pq>r$ $S(pqr)=4/p + 2p/q + pq/r$ al $pq<r$. Se puede argumentar que el máximo es de nuevo alcanzado desde el consecutivo de los números primos y la expresión se aproxima a 4.

Experimentos numéricos mostraron que $S(\prod_{i=1}^n{q_i}$), donde $q_i$ son números primos es convergente a la Euleriano número $A(n,1)$. Por favor, tenga en cuenta que yo no puedo demostrar que.

Parece ser que hay límites similares para todos los divisor de multiplicidades. Voy a editar este post si me las arreglo para recoger la lógica detrás de esto.

EDITAR:

Deje $M(r)$ ser el conjunto de todos los números naturales que tienen la multiplicidad de sus primos divisores $r=(r_1,r_2,..r_n)$. Deje $s_i$ ser el i-ésimo polinomio simétrico de n variables.

Las simulaciones numéricas se parecen mostrar que $$\lim_{x\to\infty, x\in M}S(x)=\sum_{i=2}^n{s_i(r)}$$ Tenga en cuenta que la suma se inicia a partir de 2 - es decir, el segundo polinomio simétrico.

Esto puede ser posible demostrar por inducción si los casos iniciales se establecen. Considere la posibilidad de un número $X$ con divisores $1=d_1<d_2<...d_{n}=X$. Ahora, considere el número de $p^mX$ donde $p$ es un primo mucho mayor que X. Tenemos (en el límite de $p\to\infty$):$$ S (p^m X) = \sum _{i=1} \frac{d_i}{d_{i+1}}+\frac{X}{p}+\sum _{i=1} \frac{p d_i}{p d_{i+1}}+...+\frac{p^{m-1}X}{p^m}+\sum _{i=1} \frac{p^m d_i}{p^m d_{i+1}}<(m + 1) S (X) +\frac{m X}{p} $$ In limit the last term goes to 0 so we have:$$\lim_{p\to\infty}S(p^m X)=(m+1)\lim_{x\to\infty, x\in M}S(x)$$

Este es, por supuesto, no prueba en absoluto, sólo algunas reflexiones sobre el tema.