¿Qué es exactamente la "aproximación"?

Question

Hay una gran cantidad de "aproximaciones" que existen en el campo de la matemática:$$\dfrac{22}{7} \approx \pi$$

$$e \approx \left(1 + \dfrac{1}{n}\right)^n$$, Pero el hecho de que todavía tengo que saber lo que estas declaraciones estrictamente significa que me hace bastante incómodo. Mi pregunta sería:

¿Cuál es la definición de "aproximación" en términos de cálculo o álgebra? ¿Existen restricciones para si un número puede ser "aproximado" a otro o no? Si no, podemos decir $1 \approx 2$ simplemente porque parecen estar cerca? Y si ese no es el caso, entonces lo que nos permite afirmar $1 \approx 1.001$?

Answer 1

Estoy en Israel, así que estoy aproximadamente que viven alrededor de Jerusalén -- incluso si me tomaría una a dos horas en coche para llegar allí. Para alguien que viene de otra galaxia, estoy viviendo aproximadamente en el sol.

Aproximaciones son en su naturaleza imprecisa y relativa. Cuando decimos que $x$ es una aproximación para $y$ normalmente nos referimos a que en nuestro contexto son "bastante cerca". Si usted trata con números que son mucho más grandes que los de $10^{100^{100}}$ $1\approx 2$ es cierto, y los dos son prácticamente cero.

En términos de una secuencia si tenemos una secuencia $x_n$ que converge a$x$, entonces podemos decir que para que una lo suficientemente grande $n$, $x_n\approx x$. Esto significa que es lo suficientemente cerca. En este aspecto $e\approx\left(1+\frac1n\right)^n$.

En la teoría de números tenemos una noción de la mejor aproximación racional (y $\frac{22}7$ es tal aproximación para $\pi$) lo que significa que si ponemos algunas restricciones en el denominador, esto es realmente el mejor que usted puede conseguir. Es un muy bonito teorema de que la continuación de la fracción de $r$ puede ser utilizado para generar mejores aproximaciones para $r$.

Answer 2

Usted puede hacer una aproximación a $1 \approx 2$ si quieres. La pregunta no es si esto es una aproximación (es), pero si es una buena aproximación de lo que quieras hacer con ella.

Answer 3

La mayoría (aunque no todos) de los casos interesantes de aproximación en el que las matemáticas no son sólo "one-off" aproximaciones de un número por otro, como su ejemplo,$\pi \approx 22/7$, pero más bien por las declaraciones que algunos expresión se puede aproximar arbitrariamente bien por otro, normalmente en el límite de algún parámetro va a $\infty$ o $0$, tal como su $e \approx (1+1/n)^n$.

En el sentido más amplio, como Nachbin escribe en el Prólogo de sus "Elementos de la Teoría de la Aproximación" http://books.google.ca/books?id=oQRRAAAAMAAJ

Teoría de la aproximación se refiere al problema de describir los elementos de un espacio topológico $E$ que puede ser aproximada por los de un subconjunto $X$$E$, es decir, de la caracterización de la clausura de $X$$E$.

Answer 4

El profesor Arnold Ross, de la Universidad Estatal de Ohio, usa para preguntar, "¿Qué es una aproximación a $5$?" y responder "Cualquier número distinto de $5$."