Óptima de la escalera de posición para maximizar la altura alcanzada

Question

Supongamos que tenemos una escalera con una unidad de longitud) y queremos que se llegue al punto más alto posible en una pared vertical. El terreno es inclinado y puede ser descrito con una variable k. ¿Cuál es la distancia óptima de la pared de la escalera debe ser colocado en el, por lo que el punto de llegar es el más alto?

Ver la imagen, estamos buscando x.

He llegado a la conclusión, "experimental", que la escalera debe ser colocado en vertical con el terreno, pero he sido incapaz de demostrarlo. Yo no se cómo establecer un Lagrange correctamente. (y sí, esta fue una pregunta de examen, no tengo plan de escalado las paredes!)

Answer 1

Alternativamente, mire como esta. Tomar un punto en la pared. ¿Cuál es la más corta escalera que llega a ese punto? Sin duda, uno perpendicular al suelo (línea más corta entre la tierra y punto). Si la escalera no está perpendicular al suelo, podemos llegar a un mismo punto con una corta escalera, que es perpendicular, y el lugar de nuestros más de la escalera de más arriba y paralelo.

Answer 2

La altura alcanzada es $kx$ además de la "altura extra" que es, por el Teorema de Pitágoras, $\sqrt{1-x^2}$.

Así que lo que queremos es maximizar $f(x)=kx+\sqrt{1-x^2}$. Como de costumbre, en las $f'(x)=0$. Comparar con cualquier extremo de los candidatos. (En el caso de $0$ o pendiente negativa, una escalera vertical es la óptima, a pesar de la desagradable peligroso.)

Answer 3

Este parece ser un muy sencillo cálculo I problema, así que me voy a presentar a mi de la solución de esa manera. Podemos definir una función de $h(x)=kx+\sqrt{1-x^2}$, de modo que $h(x)$ es la altura de la escalera de acuerdo a la pared. Con esto en mente, podemos calcular $$h'(x)=k-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}.$$ Setting this to zero and solving, we get that $$x=\pm\sqrt{\frac{k^2}{k^2+1}}.$$ Since a negative value for $x$ is inappropriate for this type of problem, we throw out the solution that doesn't make sense, and we have as our final answer $$x=\sqrt{\frac{k^2}{k^2+1}}.$$

Answer 4

Sin embargo, otra solución:

La parte superior de la escalera es en $(x+\cos \theta,kx+\sin \theta)$ donde $\theta$ es el sentido anti-horario, el ángulo de la $x$ eje. El problema es que, a continuación,$\max_{\theta, x} \{ kx + \sin \theta | x + \cos \theta = 0 \}$. La restricción de los límites $|x|$$1$, y el problema es equivalente a $\max_{\theta, x} \{ kx + \sin \theta | x + \cos \theta = 0,\ \theta \in [0,2 \pi] \}$, por lo tanto el conjunto factible puede ser tomado para ser compacto y no vacío, por lo tanto existe una solución.

A continuación, hacemos uso de Lagrange para caracterizar las soluciones: $$ \binom{k}{\cos \theta} + \lambda \binom{1}{-\sin \theta} = 0$$ lo que se reduce a $\cos \theta = - k \sin \theta$. El cuadrado y el uso de la identidad de $\cos^2 x + \sin^2 x = 1$ da $\sin \theta = \pm \frac{1}{\sqrt{1+ k^2}}$, y el de Lagrange condición, a continuación, da $\cos \theta = \mp \frac{k}{\sqrt{1+ k^2}}$, y por lo tanto la restricción de da $x = \pm \frac{k}{\sqrt{1+ k^2}}$. Elegir el mayor valor objetivo, tenemos la solución a $x = \frac{k}{\sqrt{1+ k^2}}$, con un óptimo valor de $\sqrt{k^2+1}$.

Para confirmar su intuición: Si dejamos $\alpha$ satisfacer $\cos \alpha = \frac{1}{\sqrt{1+ k^2}}$, $\sin \alpha = \frac{k}{\sqrt{1+ k^2}}$, entonces vemos que si $\theta$ es el ángulo óptimo, a continuación, $\theta = \alpha + \frac{\pi}{2}$ (modulo $2 \pi$, por supuesto).

Answer 5

En la configuración óptima, tenemos $\mathrm dh/\mathrm dx = 0$, es decir, mover el pie de la escalera una pequeña cantidad no va a cambiar la altura de la parte superior. Por el contrario, ¿cuál es la configuración tal que si se mantiene el fijo superior y empujar la escalera ligeramente, su pie se mantiene en el terreno? Sólo cuando la escalera es perpendicular al terreno. La solución de la siguiente manera.