Extraño comportamiento de infinite $\prod^{\infty}_{n=1} \ln (1+ \frac{1}{n} )^n$ $\prod^{\infty}_{n=1} \ln (1+ \frac{1}{n} )^{n+1}$

Question

Hay dos expresiones marcado los límites inferior y superior para el número de $e$:

$$\left(1+\frac{1}{n} \right)^n \leq e \leq \left(1+\frac{1}{n} \right)^{n+1}$$

Naturalmente, quería saber si infinito productos de sus logaritmos convergen en el mismo valor. Me sorprendió mucho descubrir que no sólo no convergen en el mismo valor, pero uno de ellos converge a cero y el otro hasta el infinito:

$$\prod^{\infty}_{n=1} \ln \left(1+ \frac{1}{n} \right)^n=0$$

$$\prod^{\infty}_{n=1} \ln \left(1+ \frac{1}{n} \right)^{n+1} \rightarrow + \infty$$

En el otro lado de su producto (o igualmente, el infinito producto de sus medios geométrica) converge, pero no a $1$:

$$\prod^{\infty}_{n=1} \ln \left(1+ \frac{1}{n} \right)^{n} \ln \left(1+ \frac{1}{n} \right)^{n+1}=\prod^{\infty}_{n=1} n(n+1) \ln^2 \left(1+ \frac{1}{n} \right) \rightarrow P$$

Mathematica da los siguientes valores (desde $P_n$ está disminuyendo, es sin duda menos de $1$):

$$P(14999)=0.921971686261$$ $$P(15000)=0.921971685920$$

La convergencia (o divergencia) puede ser probado a través del correspondiente de la serie y la integral de la prueba:

$$\sum^{\infty}_{n=1} \ln \ln \left(1+ \frac{1}{n} \right)^n $$

$$\int^{\infty}_{1} \ln \left( x \ln \left(1+ \frac{1}{x} \right)\right) dx =\int^{1}_{0} \frac{1}{y^2} \ln \left( \frac{\ln \left(1+ y \right)}{y} \right) dy\rightarrow - \infty $$

Esta integral no converge (de acuerdo a Wolframalpha)

$$\sum^{\infty}_{n=1} \ln \ln \left(1+ \frac{1}{n} \right)^{n+1} $$

$$\int^{\infty}_{1} \ln \left( (x+1) \ln \left(1+ \frac{1}{x} \right)\right) dx =\int^{1}_{0} \frac{1}{y^2} \ln \left( \left(1+ \frac{1}{y} \right) \ln \left(1+ y \right) \right) dy\rightarrow + \infty $$

Esta integral también no converge (de acuerdo a Wolframalpha)

Finalmente, el 'significa' infinito producto ofrece (ver Wolframalpha):

$$\int^{1}_{0} \frac{1}{y^2} \ln \left( \frac{1}{y} \left(1+ \frac{1}{y} \right) \ln^2 \left(1+ y \right) \right) dy=-0.0569274$$

Así, este infinito producto converge, pero no a $1$ según Mathematica.

¿Hay alguna explicación para todo esto? Está conectado a la especial propiedades de $e$?

Answer 1

Nota: $$\log\left(1+\frac 1n\right)=\frac{1}{n}-\frac{1}{2n^2}+o\left(\frac1{n^2}\right)$$

Por lo $$\log\left(1+\frac 1n\right)^n=n\log\left(1+\frac 1n\right)= 1-\frac{1}{2n}+o\left(\frac1n\right).$$

Ahora, desde la $\prod \left(1-\frac{1}{2n}\right)$ no converge a un valor positivo, ni tampoco el lado izquierdo del producto.

Del mismo modo se puede deducir:

$$(n+1)\log\left(1+\frac 1n\right) =1+\frac{1}{2n}+o\left(\frac1n\right).$$

Así que esto no es tan extraño.

Para el producto, usted necesitar más términos. Usted puede mostrar:

$$\log\left(1+\frac1n\right)^2 = \frac1{n^2} -\frac{1}{n^3} + \frac{11}{12}\frac{1}{n^4}+O\left(\frac1{n^5}\right)$$

Por lo $$n(n+1)\log\left(1+\frac1n\right)^2 =1-\frac{1}{12n^2}+O\left(\frac{1}{n^3}\right)$$

Usted puede ser capaz de poner límites más estrictos en esto para conseguir que todos los términos están a menos de $1$. Esto sólo demuestra que todos, pero un número finito están a menos de $1$.