Deje $I$ a ser un ideal de a $A=k[x_1,\cdots,x_n]$ $f \in A$ tal que $f$ se desvanece en todos los ceros de $I$ en la clausura algebraica $\bar{k}$$k$. Puedo ver que Hilbert Nullstellensatz es equivalente a decir que el $I A_f = A_f$ donde $A_f$ es la versión traducida de anillo con respecto al conjunto multiplicativo $1,f,f^2,\cdots$ $I A_f$ es el ideal generado por la imagen de $I$$A_f$. Mi pregunta es: ¿cómo podemos demostrar que $I A_f = A_f$? (obviamente sin el uso de Hilbert Nullstellensatz)
(Editado) Idea: que $f, I$ ser definido como el anterior. Es suficiente para demostrar que $IA_f$ es un ideal que no tiene ceros en $\bar{k}$. Entonces podemos usar el resultado de que si un ideal no tiene ceros, entonces debe contener $1$ $I A_f = A_f$ sigue. ¿Cómo podemos definir los ceros de $I A_f$$\bar{k}$? Intuitivamente, se trataría de $n$-tuplas $\bar{k}$ tal que $f$ no se desvanecen. (¿Cómo podemos hacer que esto sea más riguroso?) Entonces claramente $I A_f$ no tiene ningún tipo de ceros y por lo $I A_f =A_f$.
