Dejemos que $G$ sea un grupo topológico conexo y compacto y sea $f: G \to \mathbb{R}^*$ un homomorfismo de grupo continuo. ¿Se deduce que $f(g) = 1$ para todos $g \in G$ ?
Respuesta
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Eduardo Longa
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Sí. Para demostrarlo, fíjate en que $f(G)$ es un subgrupo compacto y conexo de $\mathbb{R}^*$ . Por tanto, basta con demostrar que cualquier subgrupo de este tipo es trivial.
Dejemos que $H$ sea un subgrupo conexo y compacto de $\mathbb{R}^*$ . Podemos suponer $H$ está contenida en $\{ x >0 \}$ . Si $x \in H$ y $x \neq 1$ Entonces, o bien $x < 1$ o $x > 1$ . En el primer caso, la secuencia $(x^n)$ está en $H$ pero no tiene una subsecuencia convergente, ya que converge a $0 \not \in H$ . En el segundo caso, la secuencia $(x^{-n})$ no tiene una subecuencia convergente por la misma razón. En cualquier caso, esto contradice la compacidad de $H$ . Así, $H = \{ 1\}$ como se ha reclamado.
