Comprueba si un punto está dentro de una elipse

Question

Tengo una elipse centrada en $(h,k)$ con el semieje mayor $r_x$ , eje semi-menor $r_y$ ambos alineados con el plano cartesiano.

¿Cómo determino si un punto $(x,y)$ está dentro del área delimitada por la elipse?

Answer 1

La región (disco) delimitada por la elipse viene dada por la ecuación $$ \frac{(x-h)^2}{r_x^2} + \frac{(y-k)^2}{r_y^2} \leq 1. \tag{1} $$ Así que dado un punto de prueba $(x,y)$ Enchúfalo $(1)$ . Si se cumple la desigualdad, entonces está dentro de la elipse; en caso contrario, está fuera de la elipse. Además, el punto está en el límite de la región (es decir, en la elipse) si y sólo si la desigualdad se satisface firmemente (es decir, el lado izquierdo se evalúa como $1$ ).

Answer 2

Otra forma utiliza la definición de la elipse como los puntos cuya suma de distancias a los focos es constante.

Obtenga los focos en $(h+f, k)$ y $(h-f, k)$ , donde $f = \sqrt{r_x^2 - r_y^2}$ .

La suma de las distancias (mirando las líneas de $(h, k+r_y)$ a los focos) es $2\sqrt{f^2 + r_y^2} = 2 r_x $ .

Así, para cualquier punto $(x, y)$ , calcula $\sqrt{(x-(h+f))^2 + (y-k)^2} + \sqrt{(x-(h-f))^2 + (y-k)^2} $ y comparar esto con $2 r_x$ .

Esto lleva más trabajo, pero me gusta usar la definición geométrica.

Además, para ambos métodos, si la velocidad es importante (es decir, usted está haciendo esto para muchos puntos), puede rechazar inmediatamente cualquier punto $(x, y)$ para lo cual $|x-h| > r_x$ o $|y-k| > r_y$ .

Answer 3

1) Considerar el punto como un vector

$$ p=\begin{bmatrix} x \\ y \\ \end{bmatrix} $$

2) Considera el centro de la elipse como

$$ c=\begin{bmatrix} h \\ k \\ \end{bmatrix} $$

3) Resta el centro de la elipse $$ p_{centered}= p - c $$ 4) Crear una matriz de blanqueo $$ W = \Lambda^{-1/2}E^T $$ donde $$ \Lambda = \begin{bmatrix} r_x & 0 \\ 0 & r_y \\ \end{bmatrix} $$ y $$ E = \begin{bmatrix} e_{major} & e_{minor}\\ \end{bmatrix} $$ donde $e_{major}$ y $e_{major}$ son los vectores unitarios en la dirección de los ejes mayor y menor de la elipse. Como tu ejemplo es para una matriz no rotada con el eje mayor en el eje x y el eje menor en el eje y

$e_{major}=\begin{bmatrix} 1\\ 0\\ \end{bmatrix}$ y $e_{minor}=\begin{bmatrix} 0\\ 1\\ \end{bmatrix}$

5) Blanquear la punta $$ p_{white} = Wp_{centered} $$ 6) Comprueba si la longitud del vector es menor que 1. Si lo es, entonces el punto está dentro de la elipse.

Nota: esto se inspira en mi experiencia con las matrices de covarianza. Intentaré actualizar esta respuesta con una relación intuitiva entre las elipses y las matrices de covarianza. Por ahora puedes echar un vistazo a http://www.visiondummy.com/2014/04/draw-error-ellipse-representing-covariance-matrix/

Answer 4

Tengo otra solución. En resumen, transformar todo para poder comprobar si un punto está dentro de una circunferencia centrada en (0,0). Como la elipse está orientada ortogonalmente al plano cartesiano, podemos simplemente escalar una de las dimensiones por el cociente de los dos ejes.

Primero resta (h,k) de ambos puntos.

(h,k) se convierte en (0,0). (x,y) se convierte en (x-h,y-k).

Ahora escalamos la segunda coordenada, normalizándola a la primera.

Escalando (x-h,y-k) obtenemos $$ (x-h,(y-k) * \frac{r_x}{r_y}) $$

Ahora sólo tenemos que comprobar si $$ |(x-h,(y-k) * \frac{r_x}{r_y})| <= r_x $$