¿Es posible calcular si una variedad algebraica es un múltiple diferenciado?

Question

¿Es posible que un ordenador decidir si una determinada variedad real algebraica (o semi-algebraica) es un múltiple diferenciado?

Que polinomios de $f_1,…,f_p, g_1,…,g_q$ $n$ variables con coeficientes en $\mathbb{R}$. Que $V$ ser la variedad definida por $f_1=f_2=…=f_p=0$ y $g_1>0,…,g_q>0$. ¿Es posible calcular si $V$ es un múltiple diferenciado?

(la topología en $V$ es la topología inducida por la distancia en $\mathbb{R}^n$)

Answer 1

Sí, sí que lo es. Para algebraicas varieities, sólo es necesario considerar el teorema de la función implícita que le avisa cuando el nivel de los conjuntos regulares submanifolds. Dicen que usted tiene $f_i : X \to \mathbb{R}$ y considerar el conjunto $x \in X$ tal que $f_i(x) = 0$ todos los $1 \le i \le n.$ El conjunto es regular submanifold si el mapa $F : X \to \mathbb{R}^n$ $x\mapsto (f_1(x),\ldots,f_n(x))$ cero como valor.

Como un ejemplo, considere el $f_i : \mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ $f_1(x,y,z) = x^2 + y^2 + z^2 -1$ $f_2(x,y,z) = z.$ Estamos interesados en la variedad dada por $(x,y,z) \in \mathbb{R}^3$ tal que $f_1(x,y,z) = f_2(x,y,z)=0.$ Esto es en realidad la intersección de la unidad de la esfera con el $xy$-avión y así que es un círculo en el $xy$-plano. Para comprobar esto, vamos a $F:\mathbb{R}^3 \to \mathbb{R}$ ser dado por $F(x,y,z) := (f_1(x,y,z),f_2(x,y,z)).$ A comprobar que $(0,0) \in \mathbb{R}^2$ es un valor regular, consideramos la matriz Jacobiana:

$$ J_F = \left[\begin{array}{ccc} 2x & 2y & 2z \\ 0 & 0 & 1 \end{array}\right] .$$ The critical points are given by $x=y=0$ and so the critical values are $(-1,z).$ It follows that $(0,0)$ is regular value of $F$ and so $F^{-1}(0,0)$ es un habitual submanifold.

En el caso de semi-algebraica de conjuntos, se tiene que utilizar la idea de la transversalidad y, en particular, Thom del Teorema de Transversalidad. La transversalidad se generaliza la idea de puntos críticos y/o valores. En lugar de una asignación de tener un punto en la imagen como un valor, hablamos de una asignación ser transversal a un submanifold en la imagen.

Si usted tenía algunas funciones de $g_i : X \to \mathbb{R}$, y que quería que el conjunto de $x \in X$ tal que $g_i(x) > 0$ todos los $1 \le i \le n$, entonces usted considerar en primer lugar el mapa de $G : X \to \mathbb{R}^n$$x \mapsto (g_1(x),\ldots,g_n(x)).$, Entonces usted necesita para probar que $G$ es tranverse para el conjunto de $S := \{(y_1,\ldots,y_n) \in \mathbb{R}^n : y_i > 0\}.$ Si $G$ es transversal a $S$ $G^{-1}(S)$ va a ser un habitual de submanifold de $X$.

Answer 2

Aquí hay dos (relacionadas) conceptos erróneos sobre el problema.

1) Que si un mapa de $F:\mathbb R^n\to \mathbb R^p$ no tiene máximo rango, el subconjunto $F^{-1}(0)\subset \mathbb R^n$ no va a ser un habitual de submanifold de $\mathbb R^n$.
Un contraejemplo es $F:\mathbb R\to \mathbb R:x\to x^2$.
El mapa ha $0$ como valor crítico y, sin embargo, $F^{-1}(0)=\lbrace 0\rbrace$ es regular submanifold de $\mathbb R$

2) Que una singular variedad algebraica no puede ser un suave colector.
Acaba de tomar la variedad algebraica $x^2+y^2=0$ $\mathbb R^2$ para obtener un contraejemplo.

Una muy satisfactoria respuesta a este interrogante ha sido dada por Robert Bryant en MathOverflow