Envoltura convexa de norma 0

Question

En clase, hemos demostrado que la envolvente convexa de la norma 0 en vectores, que se define como el número distinto de cero de las coordenadas, es la norma 1 en la central unitaria de bola para la norma 1 y $\infty$.

Asimismo, hemos intentado demostrar que es el mismo que si tomamos la bola unitaria en la norma 2, pero no hemos podido, y ahora pienso que es falso.

¿Sabe usted la solución para la norma 2 o en general de cualquier p norma?

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Edit: Una envolvente convexa de una función de $f(x)$ dominio $D$ es una función convexa $g(x)$ definido en $D$ tal que $g(x)\le f(x)$ todos los $x\in D$ y, para el resto convexo función tal que $h(x)\le f(x)$,$h(x)\le g(x)\le f(x)$.

Answer 1

Mientras $p>1$ $n>1,$ ni son infinitas, la respuesta es definitivamente no.

Considere la posibilidad de este tipo de notación: $$ f_q^p(x) = \begin{cases} ||x||_q & x \in B_p \\ +\infty &\text{else} \end{casos}, $$ donde $B_p = \{x \in \mathbb{R}^n \mid ||x||_p \le 1\}.$ También se define el epígrafe $$ \text{epi} (f) = \{(x, y) \in \mathbb{R}^{n+1} \mid y \ge f(x)\}. $$ Entonces, lo voy a probar, que es equivalente a su declaración sobre convexo sobres, es que, para todos los $p >1$ y $n \in \mathbb{N}\setminus\{1\},$ $$\text{epi} (f_1^p) \not = \text{conv}( \text{epi} (f_0^p) ).$$

prueba: Tenga en cuenta que $(n^{-1/p} \mathbb{1}, n^{(p-1)/p}) \in \text{epi}(f_1^p).$ Ahora, tenga en cuenta que $f_0^p(n^{-1/p} \mathbb{1}) = n > n^{(p-1)/p}$ todos los $p, n > 1.$ Por lo tanto, $(n^{-1/p} \mathbb{1}, n^{(p-1)/p}) \not\in \text{epi}(f_0^p).$

Así que la pregunta es, es $(n^{-1/p} \mathbb{1}, n^{(p-1)/p})$ a un miembro de $\text{conv}( \text{epi} (f_0^p) )?$ Nuevamente la respuesta es no. Para ver por qué, tenga en cuenta que $n^{-1/p} \mathbb{1}$ es un punto extremo de $B_p$, lo que es no puede ser escrito como una combinación convexa de otros puntos de $B_p$. Por lo tanto, es inútil buscar en una colección de puntos en $\text{conv}( \text{epi} (f_0^p) )$ que es convexa combinación es igual a $(n^{-1/p} \mathbb{1}, n^{(p-1)/p})$.