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En la mecánica lagrangiana, la función $L=T-V$ , llamado Lagrangiano se introduce, donde $T$ es la energía cinética y $V$ el potencial. Me preguntaba: ¿hay alguna razón para introducir esta cantidad? ¿Tiene algún significado físico?
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Un profesor mío dijo una vez que su diferencial $\delta L=dT-dV$ es "la cantidad de energía que hay que bombear al sistema para moverlo desde un punto $(q,\dot q)$ en el espacio de fase a un punto $(q+dq,\dot q+d\dot q)$ ". ¿Es correcta esta interpretación? No estoy muy convencido
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Respuestas
¿Demasiados anuncios?¿hay alguna razón para introducir esta cantidad?
Es una cantidad para la cual la dinámica real hace que la integral de la cosa sea estacionaria con respecto a los cambios de trayectorias cuando se consideran trayectorias alternas, pero con cambios cercanos.
¿Tiene algún significado físico?
Un problema es que muchos lagrangianos dan las mismas ecuaciones de movimiento, así que es como intentar dar un significado físico a un potencial vectorial. No es súper sencillo. Las preguntas enlazadas podrían responder a tu pregunta.
Pero señalaré que el Lagrangiano no siempre es $L(\vec q,\dot{\vec q})=T-V.$ Es lo que necesitas que sea para que las trayectorias estacionarias sean las físicamente correctas.
Un profesor mío dijo una vez que su diferencial $\delta L=dT-dV$ es "la cantidad de energía que hay que bombear al sistema para moverlo desde un punto $(q,\dot q)$ en el espacio de fase a un punto $(q+dq,\dot q+d\dot q)$ ". ¿Es correcta esta interpretación?
No es correcto. La función podría cambiar, por ejemplo, sin que tengas que hacer nada. Podrías considerar dos masas iguales unidas por un muelle, que se mueven en una línea, con el centro de masa en el chance. Al oscilar; el Lagrangiano, en función del tiempo, cambia. Pero no hay que ponerle ninguna energía. El Lagrangiano es una función de $(x_1,\dot x_1,x_2,\dot x_2).$ Y el camino a través de las coordenadas $(x_1,\dot x_1)$ se mueve en un círculo al igual que las coordenadas $(x_2,\dot x_2).$ La energía del sistema no cambia, pero el Lagrangiano es mayor cuando la energía cinética es alta y menor cuando la energía cinética es cero. Puedes meter energía y hacer que se muevan en círculos más grandes o que ambos círculos se trasladen en alguna dirección a lo largo del tiempo. Así que puedes meter energía y cambiar el lagrangiano. Pero el lagrangiano puede cambiar sin que pongas ninguna energía en el sistema.
Creo que mi profesor respondería: "¡El manantial está bombeando energía!". :).
Tenía dos partículas (en lugar de una sola partícula unida por un muelle a un punto inmóvil) exactamente así que no habría lugar a decir eso. La energía sólo está chapoteando entre cinética y potencial, no hay bombeo en el sistema.
Si la energía va de un lado a otro, yo esperaría $dT=dU$ y así $\delta\mathcal{L}=0$ Así que, efectivamente, no hay bombeo de energía :). Pero de todas formas he entendido el mensaje: esa interpretación es incorrecta.
El Lagrangiano sí cambia, incluso cuando no se bombea energía al sistema. Ese era todo mi punto.
Si $L(\vec q,\dot{\vec q})=T-V$ entonces $L(\vec q,\dot{\vec q})$ = $T+(T-T)-V$ = $2T-(T+V)$ así que durante la dinámica real $\Delta L=2\Delta T-0.$ Así que tal vez tu profesor te ha confundido en otros temas también, ya que parece que tienes literalmente la misma confusión que se le atribuye a tu profesor. O tal vez usted entendió mal todo el tiempo.
Un lagrangiano es diferente a un hamiltoniano. Aumenta cuando la energía cinética aumenta no es una constante, no es energía. Es una cosa, que cuando se estaciona bajo variación, da la verdadera dinámica.
Como ya han mencionado, L NO es en general T-V. T-V sólo se cumple en la mecánica clásica. Y trataré de motivar la construcción de T-V en la mecánica clásica siguiendo "The Variational Principles of Mechanics" de Cornelius Lanczos.
Para empezar, hablemos de la estática. Es bien sabido que la condición para que un sistema físico esté en equilibrio es que $F_{net}=0$ .
Sin embargo, cuando consideramos la dinámica, esta ley se sustituye por la famosa $F= ma$ . Mientras que $F=ma$ es muy útil en la mayoría de los escenarios cotidianos, falla por dos razones: En primer lugar, es una ecuación vectorial y, por tanto, difícil de generalizar a coordenadas curvilíneas generales. En segundo lugar, no funciona en marcos de referencia arbitrarios. En el siglo XVIII, el físico Jean D'Alembert pensó en tratar los problemas dinámicos como problemas de estática. Dado que la ley de Newton ya no es válida en marcos de referencia acelerados, D'Alembert inventó una nueva función llamada "fuerza efectiva":
$$F_{effective}=F_{impressed}+F_{inertial}.$$
Donde la fuerza impresa es la habitual en la mecánica newtoniana y la fuerza inercial es lo que ahora denominamos fuerzas ficticias. Entonces el principio de D'Alembert establece que el sistema dinámico sigue esta ecuación particular:
$$\sum_i(\mathbf{F}_i-m_i\mathbf{a}_i)\cdot\delta\mathbf{r}_i=0.$$
Donde la función dentro del paréntesis es la fuerza efectiva y los delta Ri son "desplazamientos virtuales". Esta ecuación básicamente dice que si consideras el sistema en alguna configuración, y haces un experimento virtual donde mueves el sistema en algunas direcciones arbitrarias, la suma del trabajo realizado por las fuerzas efectivas debe sumar 0. Esta es una generalización del principio del trabajo virtual de la estática a la dinámica.
Pero puede que te preguntes. ¡Esto sigue siendo una ecuación vectorial! Todavía no hemos resuelto el problema. Tienes razón. Ahora vamos a dar el salto de vector a escalar mediante la integración.
tomemos la integral de esta ecuación con respecto a $t$ :
$$\sum_i(\mathbf{F}_i-m_i\mathbf{a}_i)\cdot\delta\mathbf{r}_i=0.$$
Lo que obtienes es esto:
$$\int\limits_{t_1}^{t_2}\sum_i[\mathbf{F}_i-m_i\mathbf{a}_i]\cdot\delta\mathbf{r}_idt=0.$$
- La primera parte de la integral, $\int_{t_1}^{t_2}\sum_i\mathbf{F}_i\cdot\delta\mathbf{r}_idt$ puede interpretarse como la energía potencial de los sistemas conservadores. Reescribámosla como $-\delta\int_{t_1}^{t_2}Vdt$ , donde $V$ es la energía potencial.
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Ahora veamos la segunda parte. De la integración por partes se desprende que:
$$-\int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}(m_i\mathbf{v_i})\cdot\delta\mathbf{r}_idt=-\int_{t_1}^{t_2}\frac{d}{dt}(m_i\mathbf{v}_i\cdot\delta\mathbf{r}_i)dt+\int_{t_1}^{t_2}m_i\mathbf{v}_i\cdot\frac{d}{dt}(\delta\mathbf{r}_i)dt.$$
El primer término del lado derecho es trivialmente integral y da lugar a un término de frontera: $-(m_i\mathbf{v}_i\cdot\delta\mathbf{r}_i)|_{t_1}^{t_2}$ . Como tenemos la libertad de fijar los puntos finales, fijemos $\delta\mathbf{r}_i=0$ en $t_1$ y $t_2$ . Entonces nos queda $\int_{t_1}^{t_2}m_i\mathbf{v}_i\cdot\frac{d}{dt}(\delta\mathbf{r}_i)dt$ que podemos integrar para obtener $\int_{t_1}^{t_2}\frac12m_iv_i^2dt$ . Ahora empieza a surgir la imagen. La integral con la que empezamos se puede expresar como:
$$\delta\int_{t_1}^{t_2}(\frac12m_iv_i^2-V)dt.$$
Si hacemos la sustitución $T=m_iv_i^2\cdot\frac12$ la integral se reduce a:
$$\delta\int_{t_1}^{t_2}(T-V)dt.$$
¡¡Magia!! $L = T-V$ ¡¡!! Finalmente se obtuvo el Principio de Hamilton. ¡La variación de la acción es cero!
Así que la función lagrangiana realmente vino de integrar el principio de D'Alembert. No es arbitraria en absoluto. Es formalmente diferente, pero matemáticamente equivalente al Principio de D'Alembert. La característica notable del Principio de Hamilton es que $L$ es una calidad escalar (una cantidad independiente del marco). Tomando el Principio de Hamilton como construcción fundamental, los físicos fueron mucho más allá de la mecánica clásica. En el Modelo Estándar, el Lagrangiano es literalmente una página en lugar de un simple $T-V$ . Estos complicados lagrangianos están fuera de mi alcance. Así que dejaré a los expertos la tarea de arrojar más luz sobre un formalismo lagrangiano general.
Espero que mi relato un tanto histórico haya servido para motivar la construcción lagrangiana en la mecánica clásica.
Ahora, alguien intentó marcar esta pregunta como un duplicado de este otro . Desde mi punto de vista, habiendo derivado las ecuaciones de Euler-Lagrange antes de mencionar siquiera el principio de la menor acción o la acción, no parecía demasiado relacionado. La cuestión era que yo quería tener una interpretación física del Lagrangiano, y dejar la acción y el principio como construcciones abstractas hechas quién sabe por qué razón, probablemente porque el principio es equivalente a las ecuaciones de EL. Porque esa es básicamente la forma en que se me presentaron las cosas: partimos de Newton, introducimos coordenadas generales, hacemos uso del principio de D'alembert (¿Cómo lo llamó el profesor? Principio de restricción suave, o algo así) para derivar algunas ecuaciones, y vemos que están escritas en términos de esta función, $L=T-V$ que llamamos lagrangiano; oh, pero entonces sabemos que esas ecuaciones son equivalentes a este extraño principio abstracto respecto a la integral del lagrangiano; entonces transformamos el lagrangiano y simplificamos las ecuaciones de EL, llegando a Hamilton, que es más simétrico en el sentido de que no aparecen derivadas totales en el tiempo de las derivadas parciales del hamiltoniano, a diferencia de EL. Así que estaba un poco predispuesto a interpretar $L$ físicamente y manteniendo la acción en otro planeta.
Por suerte, Kyle Kalos publicó este enlace en su último comentario. El punto de inflexión fue esta respuesta . Esto me dice que el principio de mínima acción es equivalente a un principio mucho más físico, si las amplitudes son suficientemente físicas. Así que busqué ese principio, y voilà: encontré este Pero lo más importante es que esta conferencia de Feynman que ilustra claramente la relevancia física de la acción.
Así que concluyo que es una acción que tiene una interpretación física en términos de fases -- y de hecho la fórmula $S=\int(T-V)dt$ ¡no es necesario que aguante! Sólo se trata de que en la mecánica clásica, esa es la acción funcional. Desgraciadamente, no puedo profundizar demasiado, ya que no sé prácticamente nada de Mecánica Cuántica, y profundizar en ella para una tesis geométrica que trata de campos hamiltonianos es decididamente off-topic.
En cuanto a la interpretación del profesor, supongo que puedo concluir con seguridad que no tiene por qué ser correcta, ya que $L$ podría no ser $T-V$ . Esta respuesta probablemente dará más detalles sobre este punto.
Anexo