Has equivocado un poco la definición: $I$ es un intervalo de componentes de $S$ si no hay ningún intervalo abierto $J\subseteq S$ que correctamente contiene $I$ . Además, en este contexto $S$ es un conjunto abierto acotado en $\Bbb R$ .
Un intervalo de componentes de $S$ es, en primer lugar, un intervalo abierto en $\Bbb R$ . Por lo tanto, no puede parecer $(0,1)\cap\Bbb Q$ por ejemplo, porque no es un intervalo en $\Bbb R$ : le faltan todos los irracionales entre $0$ y $1$ .
Considere el conjunto $S=\{x\in\Bbb R:-1<x<1\text{ or }0<x<2\text{ or }4<x<5\}$ un poco de reflexión mostrará que $S=(-1,2)\cup(4,5)$ . Aquí los intervalos $(-1,2)$ y $(4,5)$ son los intervalos de los componentes de $S$ : cada uno es un intervalo abierto, su unión es todo $S$ y si se amplía cualquiera de ellos, aunque sea ligeramente, para obtener un intervalo abierto mayor, se recogen puntos que no están en $S$ . $(-1,2)$ y $(4,5)$ son tan grandes como pueden ser y seguir siendo intervalos abiertos contenidos en $S$ . Este conjunto $S$ por lo tanto, tiene exactamente dos intervalos de componentes.
Consideremos ahora el conjunto $$S=(0,1)\setminus\left\{\frac1n:n\in\Bbb Z^+\right\}\;.$$ $S$ es un subconjunto abierto acotado de $\Bbb R$ y si dibujas un boceto, deberías ser capaz de convencerte fácilmente de que
$$\begin{align*} S&=\left(\frac12,1\right)\cup\left(\frac13,\frac12\right)\cup\left(\frac14,\frac13\right)\cup\left(\frac15,\frac14\right)\cup\dots\\ &=\bigcup_{n\in\Bbb Z^+}\left(\frac1{n+1},\frac1n\right)\;. \end{align*}$$
Cada uno de los intervalos $\left(\frac1{n+1},\frac1n\right)$ es un intervalo abierto contenido en $S$ que no puede ampliarse a un intervalo abierto mayor contenido en $S$ Si intentas expandirte $\left(\frac14,\frac13\right)$ por ejemplo, obtendrá un intervalo que contiene $\frac14$ o $\frac13$ (o ambos) y por lo tanto no será un subconjunto de $S$ en absoluto. Por lo tanto, por definición, cada uno de estos intervalos $\left(\frac1{n+1},\frac1n\right)$ es un intervalo componente de este conjunto $S$ . Y como su unión es toda $S$ son todos los intervalos componentes de $S$ . Este conjunto $S$ tiene un número contablemente infinito de intervalos componentes, uno por cada $n\in\Bbb Z^+$ .
Lo que Apostol va a demostrar ahí es que todo subconjunto abierto acotado de $\Bbb R$ puede descomponerse de esta manera en intervalos componentes, y que siempre hay a lo sumo infinitos de estos intervalos componentes.
