¿Es válida esta prueba para $(\mathbb{Z},+) \ncong (\mathbb{Q},+)$?

Question

En un curso introductorio de criptografía, nuestra profesora demostró una prueba para $(\mathbb{Z},+) \ncong (\mathbb{Q},+)$. No estoy convencido, aunque la afirmación pueda ser correcta (no lo sé).

Anteriormente en el curso, habíamos visto el isomorfismo del grupo Klein-4 como $(\{0,1\}^2,+)$ y el grupo de simetría 2D de un rectángulo que no es un cuadrado (usando identidad, reflexión vertical, reflexión horizontal y rotación de 180 grados).

Ahora, nuestra profesora hizo una lista de diferentes ecuaciones y si podían resolverse en los conjuntos $\mathbb{Z}^+, \mathbb{Z}, \mathbb{Q}$ y $\mathbb{R$. Esto para mostrar que algunas ecuaciones se pueden resolver en ciertos conjuntos pero no en otros (como $x=3$ que se puede resolver en los cuatro conjuntos, pero $3x=5$ solo en los dos últimos y $x^2=-1$ en ninguno de los conjuntos considerados).

Luego, afirmó que si tenemos alguna ecuación que utiliza una operación $\odot$ que es solvable en $A$ pero no en $B$, entonces $(A,\odot) \ncong (B,\odot)$ (suponiendo por supuesto que $(A,\odot)$ y $(B,\odot)$ son grupos). Esta ya es una descripción bastante vaga, ¿verdad?

Luego propuso la ecuación $x+x=3$ que es solvable en $\mathbb{Q}$ pero no en $\mathbb{Z$. Aunque eso es obviamente correcto, no estoy seguro si este argumento es sólido y si realmente demuestra que los dos grupos no son isomorfos.

Tengo dificultades para expresar mis preocupaciones. De alguna manera, esperaría que la constante $3$ en esa ecuación fuera algún número del conjunto particular en lugar de una constante. No estoy convencido por el argumento porque si mapeáramos todos los números impares de $\mathbb{Q}$ a números pares en $\mathbb{Z}$, la ecuación de hecho sería solvable en $\mathbb{Z}.

Lo que me gustaría saber es:

• ¿Es válida la prueba dada por mi profesora (y por qué)?
• Si no, ¿siguen siendo isomorfos estos grupos (por curiosidad)?

Answer 1

Yo lo llamaría un esbozo de una prueba en lugar de una prueba. Pero es válido. Deja que $\varphi$ sea un isomorfismo de $\mathbb{Q}$ a $\mathbb{Z}$. Deja que $\varphi(r)=3$, y deja que $\varphi(r/2)=a$. Ya que $\varphi(r/2+r/2)=\varphi(r/2)+\varphi(r/2)$, tenemos $a+a=3$, lo cual es imposible en $\mathbb{Z}$.

Answer 2

El razonamiento no es correcto. Si hubiera un isomorfismo $\mathbb Z \simeq \mathbb Q$ no hay ninguna razón a priori por la cual deba enviar $1$ a $1. Ser capaz de resolver la ecuación $2x = 3$ en $\mathbb Q$ ciertamente implicaría entonces que hay una ecuación en $\mathbb Z$ de la forma $2x = a$ que también es soluble, donde $a \in \mathbb Z$ corresponde a $5 \in \mathbb Q$ bajo el isomorfismo, pero si el isomorfismo no envía $1$ a $1 entonces ¿cómo sabrías que $a$ todavía debería ser $5 \in \mathbb Z$?

Esta línea de razonamiento sí demuestra que la inclusión natural $\mathbb Z \hookrightarrow \mathbb Q$ no es un isomorfismo. Pero eso ya es obvio.

Bien, entonces ese razonamiento es incorrecto, ¿significa eso que $\mathbb Z$ y $\mathbb Q$ son isomorfos? No. Un argumento similar pero esta vez correcto es propuesto por Zhen Lin en los comentarios: Para cualquier $a \in \mathbb Q$ la ecuación $2x = a$ tiene solución, pero no es cierto que para cualquier $a \in \mathbb Z$ la ecuación $2x = a$ tenga solución.

Nota adicional: Puede que te preguntes por qué de repente estoy asumiendo que $2$ va a $2. No lo estoy. El $2$ en esa ecuación simplemente indica que $x$ es el resultado de aplicar la operación de grupo al par $(x, x)$. Escribir $2x = a$ es solo notación para $x + x = a$, mientras que $x$ y $a$ son elementos del grupo, $2$ es notación y no pretende ser un elemento de grupo.

Answer 3

Esto ha sido básicamente cubierto en los comentarios, pero para no dejarlo sin respuesta: el argumento funciona para mostrar que $\mathbb{Q}$ y $\mathbb{Z}$ no son isomorfos como anillos, porque $1$ es preservado por homomorfismos de anillos, y así también lo es $3=1+1+1$. Entonces, un isomorfismo, de hecho, cualquier homomorfismo, de anillos preserva soluciones de ecuaciones como $2x=3.

En un grupo abeliano, "$3$" no tiene una interpretación preservada por morfismos, por lo que es teóricamente sin sentido en grupos abelianos señalar que una ecuación como $2x=3$ tiene o carece de solución. Las únicas ecuaciones significativas en grupos abelianos que implican una constante específica son aquellas que involucran la identidad, esencialmente aquellas de la forma $nx=0$. Así que en un grupo abeliano, el argumento de la solvencia de una sola ecuación funciona para distinguir grupos con un orden específico de torsión de aquellos sin él, por ejemplo, $\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ de $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ y de $\mathbb{Z}$ en sí mismo, pero de lo contrario debemos considerar familias de ecuaciones, como se hizo en los comentarios.