¿Cómo puedo probar esta desigualdad?: $a+b+c+\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}\leq 3+\frac{a}{b}+\frac{b}{c}+\frac{c}{a}$ donde $a,b,c>0$ $abc=1.$

Question

He estado pensando sobre este problema por un par de días, pero no tengo idea de cómo resolverlo de una manera sencilla. Estoy interesado si hay una manera que sólo el uso de primaria métodos para demostrarlo. Utilizando el software Mathematica confirmado esta desigualdad es correcta.

Answer 1

Un buen comienzo sería mostrar que el único extremo es en $a=b=c=1$. En primer lugar, poner $c=1/ab$, y a partir de ahora podemos ignorar $c$. Segundo, calculamos las derivadas de $f = RHS-LHS$ con respecto al $a,b$. Tenemos algunas expresiones racionales, para lo cual se pueden extraer los proponentes (el denominador resulta ser positivo, si ayuda). Podemos equiparar ambos a $0$, y el uso de bases de Groebner parece que la única extremo es en $a=b=1$.

Ahora hay muchas maneras de completar la prueba. Por ejemplo, es posible demostrar que, a menos que $a,b$, ambos están en un intervalo $[l,h]$, entonces obviamente $f > 0$. La función de $f$ luego de alcanzar su mínimo en el interior del intervalo, el cual debe ser el extremo de la que hemos calculado.

Answer 2

Desde $abc = 1$, cualquier producto plazo, tales como $ab$ o $\frac{1}{bc}$ puede ser reescrito como un singleton plazo (es decir, $ab = \frac{1}{c}$$\frac{1}{bc} =a$. Así, la desigualdad es equivalente a $$\left(a-1+\frac{1}{c}\right)\left(b-1+\frac{1}{a}\right)\left(c-1+\frac{1}{b}\right) \leq 1.$$

Esta desigualdad era el Problema 2 en el 2000 Olimpiada Internacional de Matemáticas. Sabiendo que, las soluciones deben ser fáciles de encontrar.

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Por ejemplo, aquí tienes una buena debido a Robin Chapman que se puede encontrar aquí.

Tenemos $$\left(b - 1 + \frac{1}{a}\right) = b\left(1 - \frac{1}{b} + \frac{1}{ab}\right) = b\left(1 + c - \frac{1}{b}\right).$$ Hence, $$\left(c - 1 + \frac{1}{b}\right)\left(b - 1 + \frac{1}{a}\right) = b\left(c^2 - \left(1 - \frac{1}{b}\right)^2\right) \leq b c^2.$$ Por lo tanto $$\left(a-1+\frac{1}{c}\right)^2\left(b-1+\frac{1}{a}\right)^2\left(c-1+\frac{1}{b}\right)^2 \leq b c^2 a b^2 c a^2 = 1,$$ demostrar la desigualdad en el caso de que cada factor en el lado izquierdo de la desigualdad es positivo.

Ahora, supongamos que uno de los factores en el lado izquierdo es negativo; es decir, $a - 1 + \frac{1}{c} < 0$. A continuación,$a < 1$$c > 1$. Por lo tanto $b-1+\frac{1}{a} > 0$$c-1+\frac{1}{b} > 0$. De modo que el lado izquierdo de la desigualdad es negativo, y las desigualdades que aún se mantiene.

Answer 3

Con $abc=1$, podemos establecer :$a=\frac{y}{x}; b=\frac{z}{y}; c=\frac{x}{z}$. Tenemos:

$\frac{x}{z}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y}+\frac{x}{y}+\frac{y}{z}+\frac{z}{x}\le 3+\frac{x^2}{yz}+\frac{y^2}{zx}+\frac{z^2}{xy}$

$\Leftrightarrow 3xyz+x^3+y^3+z^3\ge xy(x+y)+yz(y+z)+zx(z+x)$.

Es cierto que por Schur de la desigualdad. La igualdad ocurre si sólo si $a=b=c=1$