$(4k-1)^2 +(4k)^2$ es un cuadrado perfecto

Question

Deje $k$ ser estrictamente mayor que 1. Es allí cualquier entero k tal que $(4k-1)^2+(4k)^2$ es un cuadrado perfecto?

Mi cálculo muestra que hay infinitamente muchos de esos $k$, es decir, las derivadas de la Pell la ecuación de $X^2-2Y^2=-1$.

Sin embargo, la solución manual dice que no hay ningún tipo de $k$.

Podría alguien decirme la respuesta y solución preferiblemente sin el uso de la ecuación de Pell?

Answer 1

Si usted tiene una solución $(k,w)$ $$ (4k-1)^2 + (4k)^2 = w^2, $$ se obtiene la siguiente mayor $(k,w)$ par con $$ (17 k + 3 w - 2, 96 k + 17 w - 12) $$

Por lo que el $(k,w)$ pares son

$$ (1,5), $$ $$ (30,169), $$ $$ (1015,5741), $$ $$ (34476,195025), $$ $$ (1171165,6625109), $$ $$ (39785130,225058681), $$ $$ (1351523251,7645370045), $$ y así sucesivamente.

No existen ecuaciones de Pell aquí. Estos no son los droides que usted busca. Déficit De Atención Ooh Brillante!

Answer 2

Para $k=30$, usted tiene $119^2+120^2=169^2$

Answer 3

De hecho hay una ecuación de Pell involucrados aquí. Cuando dos números adyacentes, cuya plaza sumas a una plaza, el octogonal de la serie está involucrado. Esto se aproxima a $\sqrt{2}$, por lo que el número es 6.

  0    1   2    5   12   29   70   169    x   X=x+y
  1    1   3    7   17   41   99   239    y   Y=x+X

Las soluciones que se buscan se encuentran cuando el primer número es un número impar en la fila superior. El caso aquí es$2*5*12=120$$7*17=119$, estos suman un número impar en la fila superior, aquí $169^2$.

La serie se pueden encontrar, por $c(n+1)= 6 \cdot c(n) - c(n-1)$, la serie aquí es $(A*B)^2 + (2*C*D)^2$

   A   1    7   41      239      1393
   B   3   17   99      577      3363
   C   1    5   29      169       985
   D   2   12   70      408      2378 
   E   5  169  5741  195025   6625109

El final de la plaza puede ser derivada por una serie similar a la anterior, mediante la sustitución de $6$$34$, lo que da los valores de E en la tabla de arriba.