Es la siguiente true si $\theta\in\mathbb{Q}$? $$(\cos \theta + i \sin \theta)^\alpha = \cos(\alpha\theta) + i \sin(\alpha\theta)$$ Es cierto si $\alpha\in\mathbb{R}$? En cada caso, demostrar o dar un contraejemplo, según sea el caso.
Yo no soy capaz de adivinar excepto sobre los de Moivre del teorema.
El problema con esta pregunta es que esto no es así mucho acerca de ser cierto, como se trata de ser bien definidos (excepto en los casos en que $\alpha\in\Bbb Z$, por lo que no hay problema, y la fórmula se mantiene).
Sensibilización de los números complejos para no integral poderes no está bien definido; el mejor intento de una definición de la es$z^\alpha=\exp(\alpha\ln z)$, lo que muestra que la rama de corte de la compleja logaritmo hace imposible definir $z\mapsto z^\alpha$ (valor único) función continua en todos los de$~\Bbb C$, o incluso en un barrio de$~0$, a menos que $\alpha\in\Bbb Z$. Por lo tanto, el lado izquierdo $\def\i{\mathbf i}(\cos θ + \i \sin \theta)^\alpha$ de su propuesta de igualdad tiene este tipo de problemas de definición, mientras que el lado derecho $\cos(\alpha\theta) + \i\sin(\alpha\theta)=\exp(\i\alpha\theta)$ es perfectamente definidos (incluso para $\theta\in\Bbb C$ de los cuales define un holomorphic función).
Como se puede comprobar fácilmente puede hacer que la fórmula para mantener un determinado $\theta$ eligiendo $\ln(\cos θ + \i\sin \theta)=\i\theta$ en la definición de la LHS, que luego se transforma en $\exp(\alpha\mathbf i\theta)$, de conformidad con la carta de colores RHS. Sin embargo, para obtener la fórmula para seguir trabajando aún después de la adición de $2\pi$$\theta$, sería necesario el uso de un diferente logaritmo para el mismo número complejo $\cos θ + \i\sin\theta$; no hay un solo valor de opción para la definición de complejo de exponenciación puede tener las dos formas. En un sentido, la posición que hace que la ecuación de $(\cos\theta + \i\sin\theta)^\alpha = \cos(\alpha\theta) + \i\sin(\alpha\theta)$ "tan cierto como sea posible" para $\alpha\notin\Bbb Z$, es interpretar el lado izquierdo como un multi-valores de expresión (un número finito de es $\alpha\in\Bbb Q$, infinidad de otra manera), uno de cuyos valores coincide con el de una sola valores del lado derecho. Sin embargo, trabajar con múltiples valores de las expresiones no es lo que uno hace normalmente en las matemáticas, por lo tanto, es un negocio difícil, y creo que tiende a oscurecer en lugar de resolver dificultades fundamentales, de modo que uno es mejor que no hacerlo.
No es para todos los $\alpha \in \mathbb{R}$, pero para el lado izquierdo de la ecuación se puede calcular \begin{eqnarray} (\cos(\theta) + i \sin(\theta))^\alpha & = & (e^{i\theta})^\alpha = (e^{i\theta + 2\pi i k})^\alpha = e^{(i\theta + 2\pi i k)\alpha} = e^{i\theta\alpha + 2\pi i k \alpha} \\ & = & e^{i\theta \alpha} e^{2\pi i k \alpha} = e^{2\pi ik \alpha} e^{i \theta \alpha} = e^{i \pi 2 k \alpha} e^{i \alpha \theta} \\ & = & e^{i \pi 2k \alpha} (\cos(\alpha \theta) + i \sin(\alpha\theta)) \end{eqnarray} para $k \in \mathbb{Z}$ por lo que el lado izquierdo no es necesariamente único, pero al menos uno de sus valores tiene el valor de la mano derecha. Es encontrado por la elección de $k = 0$. Un contraejemplo se encuentra seleccionando $k = 1$ $\alpha = \frac{1}{2}$ como en Kaster la respuesta.
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