Una curiosa expresión que involucra la función del número entero más cercano cuya suma parece ser 3

Question

Dejemos que $ \def\nint#1{\langle #1\rangle}\nint x$ denota el número entero más cercano a $\sqrt x$ . Esto es ambiguo siempre que $\sqrt x$ es un semi-integro; afortunadamente, esto no surgirá en el resto de esta cuestión, y podemos simplemente tomar $\nint x = \left\lfloor \sqrt x+\frac12\right\rfloor$ .

Ahora considere la suma $$S(k) = \def\nint#1{\langle #1\rangle} \sum_{i=1}^\infty \frac{k^{\nint i} + k^{-\nint i}}{k^i}$$

Los cálculos informáticos sugieren inequívocamente que $$S(k)=\frac{k+1}{k-1}$$ para todos $k>1$ en particular $$S(2) = 3.$$ ¿Es esto correcto, y si es así, qué es una prueba? Me imagino un argumento de conteo que calcula el número $C_n$ de diferentes $i$ en la que la función $\nint i$ toma el valor $n$ pero no he resuelto los detalles. También me interesaría ver un argumento sobre la región en la que $S$ converge.

[ El $k=2$ El caso de esta pregunta se ha planteado al menos dos veces 1 2 en los últimos días, y se cerró en ambas ocasiones, pero creo que merece más atención. ]

Answer 1

Creo que tengo una respuesta para el caso $k=2$ y el método puede utilizarse para el caso general. La cuestión (para $k=2$ ) se ha cerrado antes de que pueda poner esta respuesta.

Dejemos que $k\geq 1$ . Para $n\in \mathbb{N}$ existe $k$ tal que $k-\frac{1}{2}\leq \sqrt{n}\leq k+\frac{1}{2}$ . No podemos tener $\sqrt{n}=k\pm \frac{1}{2}$ y el conjunto de $n$ tal que $<n>=k$ es $(k^2-k, k^2+k]$ . Primero sumamos sobre dicho conjunto: $$\sum_{k^2-k<n\leq k^2+k}\frac{2^{<n>}+2^{-<n>}}{2^n}=2\frac{4^{2k}-1}{2^{(k+1)^2}}$$

Por lo tanto, su suma es $$S=2\sum_{k\geq 1}\frac{4^{2k}-1}{2^{(k+1)^2}}$$ Poner $$f(x)=\sum_{m\geq 1}\frac{x^m}{2^{(m+1)^2}}$$ Se trata de una función completa. Tenemos $S=2(f(4^2)-f(1))$ . Calculamos $$f(4x)=\frac{x}{4}+\frac{x}{2}f(x)$$

y $$f(4^2x)=x+\frac{x^2}{2}+x^2f(x)$$ Ponemos $x=1$ : $\displaystyle f(4^2)-f(1)=\frac{3}{2}$ y por lo tanto $S=3$ .