Utilizando series de Fourier para calcular sumas

Question

Acabo de empezar a aprender los conceptos básicos de las series de Fourier y tengo algunas dudas al respecto. Soy consciente de que las series de Fourier se pueden utilizar para calcular sumas infinitas. Por ejemplo, $\zeta(2)$ y $\eta(2)$ se pueden evaluar utilizando la expansión en series de Fourier de $x^2$, donde $x\in[-\pi, \pi]$. $$x^2=\frac{\pi^2}{3}+\sum_{n \ge 1}\frac{4(-1)^n}{n^2}\cos{nx}$$ Al permitir que $x=\pi$ y $x=0$ obtendremos los resultados requeridos. Esto me lleva a mi pregunta. Dada una suma para calcular, ¿cómo se determina el $f(x)$ y $L$ apropiados? Por ejemplo, dada una suma como $$\beta(3)=\sum_{n \ge 0}\frac{(-1)^n}{(2n+1)^3}$$ , ¿puedo preguntar cómo se supone que debemos saber qué función tenemos que considerar?

Además, me interesa saber cómo aplicar esta técnica para evaluar sumas de forma más general $$\sum_{n \ge 0}\frac{z^n}{(n+a)^s}$$ es decir, la trascendencia de Lerch, y cómo determinar si no es posible utilizar este método. (Por ejemplo, no funciona en $\zeta(2n+1)$)

Gracias por aguantar mi ignorancia. Se agradecerá mucho la ayuda.

Answer 1

Aquí hay tres formas de calcular $\beta(3)$.

---

En esta respuesta, comenzando con $\beta(1)=\frac\pi4$, derivé la recursión para $n\gt0$: $$ \beta(2n+1) = -\sum_{k=1}^n \frac{(-\pi^2/4)^k}{(2k)!}\;\beta(2n-2k+1)\tag{1} $$ de donde obtenemos $$ \beta(3)=\frac{\pi^3}{32}\tag{2} $$

---

También podemos calcular $\beta(3)$ usando integración de contorno: $$ \begin{align} 0=\frac1{2\pi i}\oint\frac{\pi\csc(\pi z)}{\left(z+\frac12\right)^3}\,\mathrm{d}z &=2\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{\left(k+\frac12\right)^3}+\operatorname*{Res}_{z=-1/2}\frac{\pi\csc(\pi z)}{\left(z+\frac12\right)^3}\\ &=16\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^3}-\operatorname*{Res}_{z=0}\frac{\pi\sec(\pi z)}{z^3}\\ &=16\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^3}-\operatorname*{Res}_{z=0}\frac{\pi\left(1+\pi^2z^2/2+O(z^4)\right)}{z^3}\\ &=16\sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^3}-\frac{\pi^3}2\tag{3} \end{align} $$ Por lo tanto, $$ \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^3}=\frac{\pi^3}{32}\tag{4} $$

---

Si integramos tu ecuación para $x^2$, obtenemos $$ \frac13x^3=\frac{\pi^2}{3}x+\sum_{n=1}^\infty\frac{4(-1)^n}{n^3}\sin(nx)\tag{5} $$ y al sustituir $x=\frac\pi2$, obtenemos $$ \frac{\pi^3}{24}=\frac{\pi^3}6-\sum_{k=0}^\infty\frac{4}{(2k+1)^3}(-1)^k\tag{6} $$ de donde obtenemos $$ \sum_{k=0}^\infty\frac{(-1)^k}{(2k+1)^3}=\frac{\pi^3}{32}\tag{7} $$