Cómo un grupo de orden $21$ surge de forma natural?

Question

Me estaba explicando siguiente teorema en estudiantes universitarios:

"Si $|G|=pq$ $p>q$ $q\nmid p-1$ $G$ debe ser cíclico".

"Pero, ¿qué acerca de la $|G|=21=7.3$? Aquí $3\mid (7-1)$". Los estudiantes pegado a decir algo acerca de la $G$. Entonces traté de explicarle que eso no es un no-cíclico (por lo tanto no abelian) grupo de orden $21$. Traté de escribir la colección de mapas de $x\mapsto ax+b$ donde $b$ es en el campo de la orden de $7$ $a$ es una raíz cúbica de la unidad en el campo de la orden de $7$. Pronto me di cuenta de que me mudé parcialmente fuera de la Teoría de grupos.

¿Cómo podemos ilustrar fácilmente el ejemplo de no-abelian grupo de orden $21$ a estudiantes de licenciatura con un mínimo de requisitos previos de la Teoría de Grupo?

Answer 1

Personalmente, yo probablemente sólo le damos el grupo en forma de presentación de la que se obtiene de la semidirect producto de la construcción de la misma....y para los alumnos más avanzados, explicar semidirect productos.

$\langle a,b\mid a^3=b^7=e,aba^{-1}=b^2\rangle$, y mostrarles que que bien define a un grupo de la orden de 21 que no es abelian.