La cardinalidad del grupo $\mathrm{SL}(k,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$

Question

Quiero calcular la cardinalidad del grupo $\mathrm{SL}(k,\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$, $k,n \in \mathbb{N}$. Al $n$ es primo, es fácil de calcular, así que quiero saber que es el caso general.

Answer 1

Paso 1. Para un anillo conmutativo $R$,$\mathrm{GL}_{n}(R) / \mathrm{SL}_{n}(R) \cong R^{*}$.

Paso 2. $|\mathrm{GL}_{n}(\mathbb{F}_{q})| = (q^{n}-1)(q^{n}-q)\cdots (q^{n}-q^{n-1})$.

Paso 3. Deje $R$ ser un conmutativa anillo local con ideal maximal $\mathfrak{m}$ y residuos del campo de $K = R / \mathfrak{m}$ . A continuación, $|\mathrm{GL}_{n}(R)| = |\mathfrak{m}|^{n^{2}} |\mathrm{GL}_{n}(K)|$

Paso 4. Para un conmutativa anillos $R$, $S$, tenemos $\mathrm{GL}_{n}(R \times S) \cong \mathrm{GL}_{n}(R) \times \mathrm{GL}_{n}(S)$.

Ahora, podemos calcular el orden de $\mathrm{GL}_{k}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})$. En primer lugar, si $n = p^{k}$, $\mathbb{Z}/p^{k-1}\mathbb{Z}$ es el único ideal maximal de a $\mathbb{Z}/p^{k}\mathbb{Z}$ con residuos de campo $\mathbb{F}_{p}$. Por lo tanto, la aplicación de 3. y 2., llegamos $|\mathrm{GL}_{k}(\mathbb{Z}/p^{k}\mathbb{Z})|$. La combinación de esta con 4., recibimos la orden general para $n = p_{1}^{k_{1}}\cdots p_{r}^{k_{r}}$. Desde $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z} \cong \mathbb{Z}/ p_{1}^{k_{1}}\mathbb{Z}\times \cdots \times \mathbb{Z}/p_{r}^{k_{r}}\mathbb{Z}$,$|\mathrm{GL}_{k}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})| = |\mathrm{GL}_{k}(\mathbb{Z}/p_{1}^{k_{1}}\mathbb{Z})| \cdots |\mathrm{GL}_{k}(\mathbb{Z}/p_{r}^{k_{r}}\mathbb{Z})|$.

Por último, el paso 1. implica $|\mathrm{SL}_{k}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})| = |\mathrm{GL}_{k}(\mathbb{Z}/n\mathbb{Z})|/\phi(n)$.