Suslin Árboles - la construcción de una normal $\omega_1$ árbol.

Question

Deje $T$ ser un Suslin árbol, es decir, un árbol de altura $\omega_1$ de manera tal que cada rama en $T$ (es decir, cada máxima linealmente ordenado subconjunto de $T$) es contable, y cada antichain en $T$ es contable). De ello se desprende que cada nivel del árbol es contable.

Para cada una de las $x \in T$ definir $T_x = \{ y \in T \mid y \ge x \}$. Se define un nuevo árbol de $T_1 = \{ x \in T \mid T_x \text{ is uncountable}\}$. Para cada cadena de $C = \{z \mid z < y \}$ de límite de longitud, se añade otro elemento $a_C$ a el árbol de la $T_1$ y cambiar el orden para que las $z < a_C$ todos los $z \in C$ $a_C < x$ todos los $x$ con la propiedad de que $x > z$ todos los $z \in C$. Agregar estos elementos extra para obtener un árbol de $T_2$.

$\bf{QUESTION\ 1}$: Quiero demostrar que si $\beta < \omega_1$ es un ordinal límite, y $x,y$ son tanto en el nivel de $\beta$$T_2$,$\{ z \mid z < x \} = \{ z \mid \ z < y\} \implies x = y$. Para mí esto se seguiría de inmediato si el nivel de $\beta$ componía de elementos de la forma $a_C$. Pero no estoy seguro de cómo mostrar este, si este es el caso. Si tengo en cuenta el tipo de orden/altura de un elemento $a_C$ en este nuevo árbol en un límite de nivel, ¿el tipo de pedido de aumento si tengo más elementos siguientes en $T_2$ que tengo debajo de ella en $T_1$?

$\bf{QUESTION\ 2}$: Definir un nuevo árbol de $T_3$ a los puntos de ramificación de $T_2$, es decir, los elementos en $T_2$ donde hay al menos dos elementos en el nivel superior. Quiero comprobar lo anterior propiedad se cumple en este caso también. Yo pensaba que la eliminación de los puntos de ramificación posiblemente cambiar los niveles de algunos elementos en el árbol, así que estoy teniendo problemas para conseguir mi cabeza alrededor de este.

Podría alguien ayudarme con los dos anteriores preguntas? Muchas gracias. Mi pregunta se basa en Jech 9.13.

Answer 1

En lugar de dar un argumento formal, voy a intentar dar una imagen más clara de lo que realmente está pasando y ver si eso le ayuda a completar el argumento.

Si $T$ es cualquier árbol, y $x\in T$, vamos a $\operatorname{pred}(x,T)=\{z\in T:z<x\}$, vamos a $\operatorname{ht}(x,T)$ ser la altura de $x$$T$, y para cualquier ordinal $\alpha$ deje $\operatorname{Lev}_\alpha(T)=\{x\in T:\operatorname{ht}(x,T)=\alpha\}$.

El punto entero de la construcción es reemplazar el árbol de Suslin $T$ con más bonito árbol de Suslin. El paso de $T$ $T_1$poda el 'muerto' de las ramas de $T$, dejando sólo los nodos que tienen sucesores arbitrariamente alto en el árbol.

Un 'bonito' ramas de los árboles sólo en el sucesor de los niveles, de modo que los nodos en el límite de los niveles son completamente determinado por sus conjuntos de la de sus predecesores. Por lo tanto, nos gustaría $T_1$ a tienen la propiedad de que si $\beta$ es un ordinal límite, $x,y\in\operatorname{Lev}_\beta(T_1)$, e $x\ne y$,$\operatorname{pred}(x,T_1)\ne\operatorname{pred}(y,T_1)$. Por desgracia, es muy posible que $T_1$ hace sucursal en el límite de los niveles; el paso de $T_1$ $T_2$está diseñado para deshacerse de este indeseable de ramificación.

Supongamos que $\beta$ es un ordinal límite, $x,y\in\operatorname{Lev}_\beta(T_1)$, $x\ne y$, y $\operatorname{pred}(x,T_1)=\operatorname{pred}(y,T_1)$. Deje $C=\operatorname{pred}(x,T_1)$; a continuación, $C$ es una cadena de límite de longitud en $T_1$, por lo que en $T_2$ tenemos un vértice $a_C$. ¿De dónde encajar en $T_1$? Es evidente que se encuentra por encima de todas las $z\in C$, pero se encuentra por debajo de los $x$$y$. Si fuera el único nuevo vértice, sería claramente en $\operatorname{Lev}_\beta(T_2)$, inmediatamente debajo de $x$$y$, que sería empujado hacia arriba de$\operatorname{Lev}_\beta(T_1)$$\operatorname{Lev}_{\beta+1}(T_2)$. Todos los sucesores de $x$ $y$ a las alturas $\beta+n$ $n\in\omega$ también sería empujado hasta un nivel, pero no habría ningún cambio en las alturas $\ge\beta+\omega$.

Por supuesto, no tenemos razón para suponer que esta $a_C$ es el único nuevo vértice. Sin embargo, esto resulta no ser un problema si nos fijamos en la construcción en los pasos, en lugar de todos a la vez. Imaginar la escalada $T_1$ y el examen de cada nivel límite en turno. Decir que has llegado a $\operatorname{Lev}_\beta(T_1)$ para algunos límite ordinal $\beta<\omega_1$. Usted encuentra todos los no deseados se divide en Nivel de $\beta$ (si la hubiere) y tratarlos como hicimos la única división en el último párrafo. Esto no cambia la estructura del árbol debajo del Nivel de $\beta$ en cualquier forma, por lo que no tiene ningún efecto sobre los cambios que ya hemos hecho menor en el árbol. Se hace asegurarse de que los distintos vértices en $\operatorname{Lev}_\beta(T_2)$ han conjuntos distintos de los antecesores en $T_2$. Y no tiene ningún efecto sobre la estructura del árbol en las alturas $\ge\beta+\omega$. En particular, no tiene ningún efecto en el límite más alto de los niveles. Por lo tanto, podemos reparar no deseados que se divide un límite de nivel a la vez, sabiendo que las reparaciones en un nivel no puede afectar anteriores reparaciones en los niveles inferiores ni afectar a la no deseada se divide en los niveles superiores.

Ahora la construcción especificado en el problema es un poco diferente de la que acabo de describir. He añadido nuevos elementos a limitar sólo a los niveles donde lo que era necesario en orden a la reparación no deseados de split. Su construcción es en realidad va a reemplazar todo el límite de nivel con nuevos elementos, si son realmente necesarios o no. Esto es menos intuitivo, pero hace el proceso un poco más fácil de manejar, debido a que hace más consistente. Su construcción asciende a hacer lo siguiente en un nivel límite $\beta$.

Para $x,y\in\operatorname{Lev}_\beta(T_1)$ escritura $x\sim y$ fib $\operatorname{pred}(x,T_1)=\operatorname{pred}(y,T_1)$; claramente $\sim$ es una relación de equivalencia en $\operatorname{Lev}_\beta(T_1)$. Para cada una de las $\sim$clase $[x]$ deje $C([x])=\operatorname{pred}(x,T_1)$, una cadena de límite de longitud en $T_1$. Deje $\operatorname{Lev}_\beta(T_2)=\{a_{C([x])}:x\in\operatorname{Lev}_\beta(T_1)\}$. A continuación, fijar el orden que usted describe en su construcción.

Cuando un vértice $x$ es el único miembro de su $\sim$-clase, que no era parte de un no deseado dividirse, por lo que el nuevo vértice $a_{C([x])}$ no es realmente necesario. Lo bueno, sin embargo, es que esta construcción uniforme, simplemente presiona la próxima $\omega$ $T_1$ un poco: para cada una de las $n\in\omega$ tenemos $\operatorname{Lev}_{\beta+n+1}(T_2)=\operatorname{Lev}_{\beta+n}(T_1)$. Todo lo que estamos haciendo es reemplazar el límite de los niveles de una manera que mata a cualquier divide en niveles que pueden haber estado presentes en la $T_1$.

El paso final, de$T_2$$T_3$, es la intención de deshacerse de 'falso' nodos, es decir, los nodos en los que ramificación no se produce. (Después de todo, si hay ramificación no hay, ¿por qué tienen un vértice no?) Este hecho puede afectar a las alturas de los vértices y, por tanto, la composición de los niveles; un vértice en el Nivel $\omega$ $T_2$ podría terminar en el Nivel de $1$$T_3$, por ejemplo. Nota, sin embargo, que todos los cambios de nivel son a la baja: $\operatorname{ht}(x,T_3)\le\operatorname{ht}(x,T_2)$ todos los $x\in T_3$.

(Tengo que correr a tomar el cuidado de algunas tareas domésticas. Voy a publicar este mucho, por ahora, ya que creo que es un principio útil para usted, y acabar con ella en un instante).

Answer 2

Creo que los siguientes trabajos.

Pregunta 1. Parecería suficiente para mostrar que todos los $x \in T_1$ tiene sucesor de altura en $T_2$. Este parece seguir a partir de dos observaciones:

• Si $x$ fue sucesor de altura en $T_1$, es de sucesor de altura en $T_2$, como su predecesor inmediato en $T_1$ es un predecesor inmediato en $T_2$.
• Si $x$ fue de límite de altura, entonces la familia $C = \{ z \in T_1 : z < x \}$ es una cadena en la $T_1$ de límite de altura, y $x$ puede ser demostrado ser un inmediato sucesor de $a_C$$T_2$.

Pregunta 2. Tenga en cuenta que si $x , y \in T_3$ son de límite de altura y tienen el mismo conjunto de predecesores en $T_3$, entonces ellos también tienen el mismo conjunto de predecesores en $T_2$. Si no, entonces vamos a $\beta$ ser mínimas tales que el predecesor $x^\prime$ $x$ $\beta$th nivel de $T_2$ es diferente de la del predecesor $y^\prime$ $y$ $\beta$th nivel de $T_2$.

• Si $\beta$ es un ordinal sucesor, entonces debe de ser que los inmediatos predecesores de $x^\prime$ $y^\prime$ coinciden (por minimality de $\beta$), por lo que vamos a llamar a este nodo $a$. Tenga en cuenta que $a \in T_3$. Se puede demostrar que ningún nodo $z \in T_2$ la satisfacción de cualquiera de las $a < z < x$ o $a < z < y$ $T_3$ (desde un nodo sería testigo de la diferencia de los predecesores de $x$$y$$T_3$). Pero, a continuación, $x$ $y$ son inmediatos sucesores de $a$$T_3$, contradiciendo la suposición de que son de límite de altura en $T_3$!

• si $\beta$ es un ordinal límite, entonces por encima de $x^\prime = a_{C}$ para algunos de la cadena de $C$$T_1$, e $y^\prime = a_{D}$ para algunos de la cadena de $D$$T_1$. Pero como $x^\prime \neq y^\prime$ se sigue que $C \neq D$, contradiciendo la minimality de $\beta$$T_2$!

Por lo tanto $x$ $y$ tienen el mismo conjunto de predecesores en $T_2$. Si $x$ $y$ son de sucesor de altura en $T_2$, entonces si es diferente de su predecesor inmediato es la ramificación, y por lo tanto en $T_3$, contradiciendo ese $x,y$ son de límite de altura en $T_3$. Por lo tanto $x$ $y$ son de límite de altura en $T_2$, son por lo tanto iguales.