Máxima abelian subalgebra de álgebra de Banach es cerrado y contiene la unidad

Question

Estoy estudiando Murphy del libro: C*-Álgebras y Operador de la Teoría, y se quedó atascado en el ejercicio 8 del capítulo 1:

"Mostrar que si $B$ es la máxima abelian subalgebra de un unital álgebra de Banach $A$, $B$ está cerrada y contiene la unidad. Mostrar que $\sigma_A(b)=\sigma_B(b)$ todos los $b\in B$." (donde $\sigma_A(b)=\left\{\lambda\in\mathbb{C}:\lambda 1-b\text{ is not invertible in }A\right\}$, e $\sigma_B(b)$ se define de forma análoga)

He tratado de argumentar por contradicción: supongamos que $B$ no está cerrado. A continuación, $\overline{B}$ es un cerrado conmutativa subalgebra de $A$ que contiene $B$ estrictamente. Por maximality, tenemos $\overline{B}=A$, por lo tanto $B$ es un denso máxima subalgebra de un unital conmutativa álgebra de Banach. Pero no veo cómo esto conduce a una contradicción, a pesar de que huele a Gelfand Transformar...

EDIT: en Realidad, traté de mostrar que $B$ debe contener la unidad, y tal vez el problema está mal: Vamos a $B$ ser un conmutativa no unital álgebra de Banach, por ejemplo, $B=C_0(\Omega)$ donde $\Omega$ es un no-compacto, localmente compacto Hausdorff espacio topológico, se dice $\mathbb{R}$. Deje $A=B\oplus\mathbb{C}$ ser su unificación, que es $A=B\times\mathbb{C}$ como un conjunto y las operaciones en $A$ se definen como $$(b,\alpha)+\gamma(c,\beta)=(b+\gamma c,\alpha+\gamma\beta),\quad (b,\alpha)(c,\beta)=(bc+\alpha c+\beta b,\alpha\beta)$$ y $A$ tiene la norma $\Vert(b,\alpha)\Vert=\Vert b\Vert+|\alpha|$. Es fácil comprobar que $A$ es un conmutativa álgebra de Banach con unidad de $(0,1)$.

Si nos identificamos $B$ con el subalgebra $B\oplus\left\{ 0\right\}$$A$, entonces es claro que $B$ es la máxima conmutativa subalgebra de $A$ que no contiene la unidad.

Si mis argumentos eran correctas, entonces no es cierto en general que $B$ contiene la unidad. Pero aún podemos asegurar que $B$ es cerrado en $A$ y que, si $B$ contiene la unidad, a continuación, $\sigma_A(b)=\sigma_B(b)$ por cada $b\in B$.

Answer 1

Si $A$ no es abelian, entonces claramente $B\not=A$ para cualquier abelian subalgebra $B\subseteq A$. Si $A$ es abelian, a continuación, $B=A$ es la única máxima abelian subalgebra de $A$ (y todos los reclamos son trivialmente cierto).

Si $A$ sí es un unital álgebra de Banach (como se indica en Murphy del ejercicio), entonces la máxima abelian subalgebra $B\subseteq A$ es cerrado y unital (porque $B_1=\{\lambda 1 + b;\lambda\in C, b\in B\}$ ($C$ el campo de los números complejos) y $\overline{B}$ son abelian subalgebras de $A$ y que contengan $B$, así que por maximality de $B$ obtenemos $B=\overline{B}=B_1$).

Tenemos $\sigma_A(b)\subset\sigma_B(b)$ todos los $b\in B$, porque si $\lambda 1-b$ tiene una inversa en $B$, entonces también tiene una inversa en $A$ (por lo que si no tiene un inverso en $A$, entonces no puede haber una relación inversa en $B$, tampoco).

Pero tenga en cuenta que el recíproco también es cierto: si por un elemento $b\in B$, $\lambda 1-b$ tiene una inversa en $A$, decir $c$, $c$ pertenece a $B$. Esto es debido a que la relación $(\lambda 1-b)b'=b'(\lambda 1-b)$ (satisfecho por todos los $b,b'\in B$ porque $B$ es abelian) implica $cb'=b'c$ todos los $b'\in B$. A continuación, $B_c=\{p(c)b';p(c)$ un polinomio en $c, b'\in B\}$ es abelian, contiene $B$, por lo que desde $B$ es máxima abelian tenemos $B_c=B$$c\in B$, es decir, $\lambda 1-b$ tiene una inversa en $B$. Por lo tanto,$\sigma_B(b)\subset\sigma_A(b)$.