Un problema en el orden de un Grupo.

Question

Deje $G$ ser un grupo de orden $8$ $x$ ser un elemento de $G$ orden $4$. Mostrar que $x^2 \in Z(G)$, el centro de $G$. Cómo este resultado puede ser demostrado?

Answer 1

Poner $N=\langle x \rangle$. A continuación, $|N|=4$ y el índice de$[G:N]=2$, $G=N \cup gN$, con $g \notin N$. $N$ es normal, por lo $g^{-1}x^2g \in N$. Pero este elemento, siendo conjugado de a $x^2$, ha pedido igual a la de $x^2$,$2$. Desde $x^2$ es el elemento único de la orden de $2$$N$, se deduce que el $g^{-1}x^2g=x^2$. Por lo $x^2$ viajes con $g$ y, por supuesto, con cualquier poder de la $x$. Por lo tanto $x^2 \in Z(G)$.

Answer 2

Desde $Z(G)$ no es trivial, ha pedido al menos $2$. Pero el cociente $G/Z(G)$ no es cíclica, a menos $Z(G) = G$ (el cociente por el centro nunca es no trivial cíclico), por lo que debe tener exponente dividiendo $2$, lo que significa, precisamente, que para cualquier $x\in G$ tenemos $x^2\in Z(G)$.

Answer 3

Deje $|G|=8$ donde$x\in G$$|x|=4$. Ahora $|x^2|=2$ y denotan $Z=Z(G)$

Cuenta canónico homomorphism $\eta :G \to G/Z$.

Caso 1- $|Z|=8$, $G$ es abelian, nada que demostrar.

Caso 2 - $|Z|=4$,$\eta : G \to \Bbb{Z}_2$, por lo que si $x \to \bar{0}$, también lo $x^2$, y si $x \to \bar{1}$, $\eta(x^2)=\bar{1}+\bar{1}=\bar{0}$

Caso 3- $|Z|=2$, e $|G/Z|=4$. Esto implica $x \notin Z$. Nota como $\eta(x)=xZ \in G/Z$. Pero $|Z|=|xZ|=2$ (ya que son distintos a los cosets, por lo que tienen igual tamaño). Pero $|xZ|=2 \implies x^2\in Z$

Caso 4- $|Z|=1$. Esto no es posible por la clase de ecuación, como todos los que no son triviales clases conjugacy incluso ha pedido.

Answer 4

Si x^2 no está en el centro, a continuación, el subgrupo no se cruzan en el centro, excepto en el correo. Es follws que .Z=G y G es Abelian pero entonces x^2 es en el centro.