Ayuda con problemas de tiempo/velocidad/distancia de recorrido problema

Question

Yo no soy ninguna clase de matemáticas wiz, y me he topado con un problema que es bastante complejo para mí, para resolver. Un amigo sugirió este sitio podría ser capaz de proporcionar un poco de ayuda. Así que permítanme tratar de describir el problema lo mejor que pueda. Permítanme empezar diciendo que yo había preparado un par de imágenes para ayudar a explicar todo esto, pero no estoy permitido el uso de ellos en este post, como soy un nuevo usuario. Por lo tanto, algunas referencias a los gráficos son menos significativas. He intentado describir lo que los gráficos se representa.

Tengo una ruta de acceso de una distancia conocida, que debe ser recorrido en una cantidad fija de tiempo. Sin embargo, debo comenzar el recorrido de la ruta de acceso y el final del recorrido a una velocidad específica. Así, por ejemplo, si tengo que recorrer 1200 metros en 10 segundos, y a mi de entrada y salida de las velocidades deben ser de 120 pies./sec, a continuación, puede simplemente quedarse en la constante de velocidad de 120 pies./segundo para lograr mi objetivo. Si me gráfica de velocidad contra tiempo, el área bajo la gráfica representa la distancia recorrida como así:

(Figura 1 muestra la velocidad en el eje vertical, el tiempo en el eje horizontal, con los puntos marcados para 120 ft./sec. en el eje vertical y 10 segundos sobre el horizontal. Se muestra un área rectangular debajo de la línea horizontal a una Velocidad de 120 m/seg. a partir de 0 segundos y va hasta 10 segundos. El área que se muestra representa el 1200 pies que sería atravesado).

Sin embargo, si tengo que viajar a sólo 700 metros en el mismo intervalo de 10 segundos, las cosas se ponen feas. Pensé acerca de desacelerando a un ritmo constante hasta entonces yo podría acelerar a una tasa constante de terminar con mi curva de velocidad de talla de un triángulo de la gráfica en la Figura 1, en cuya área por encima de la curva sería de 500 ft. Sin embargo, que rinde una discontinuidad en la aceleración/deceleración que es inaceptable.

Yo entonces pensé que podría utilizar un segmento de un círculo para hacer la misma cosa, como se muestra a continuación:

(Fresco imagen muestra un gráfico similar a la anterior, pero con un segmento de un círculo de corte en la zona de sombra de la imagen de arriba, de tal manera que el segmento se cruza con la línea horizontal en el tiempo = 0 y la velocidad = 120 m/seg en un lado y 120 pies./segundos y 10 segundos en el otro lado, con el segmento de inmersión hacia abajo para tallar 500 "pies" desde el área bajo la línea horizontal que representa a una velocidad constante de 120 pies/seg)

Aquí el área de orange representaría a los 500 pies menos de la distancia recorrida por una velocidad constante. Siguiendo la curva de la velocidad indicada por el segmento de círculo debe ser bastante trivial. Y así parece que he solucionado mi problema. Sin embargo, cuando trato de poner en práctica esto en un algoritmo, me encuentro con el problema de que el área de los cálculos para el segmento de un círculo no parece el rendimiento de las unidades de que se realice cualquier sentido. Tal vez sería mejor decir que no sé cómo configurar el problema, por lo que las unidades de sentido. Estoy seguro que se puede calcular el área del segmento, pero lo hace de 10 segundos, significa que cuando se utiliza como el acorde de el círculo, y lo que debe a las unidades de la radio. Supongo que el valor de theta es fácil, al menos. ;) Por desgracia estoy perplejo en el resto. Ni siquiera estoy seguro de que este enfoque es viable.

Me gustaría ser igual de interesado en un numéricos de aproximación a la solución como un enfoque matemático.

Cualquier ayuda que usted puede ofrecer para que me ayude a conseguir mi cabeza alrededor de esto sería muy apreciado.

= Ed =

Answer 1

El "círculo" es una buena idea. Vamos a convertirla en lenguaje algebraico para obtener una decente (general) respuesta.

Suponga que el tiempo pasa de $0$ $T$y la distancia total recorrida es de $D$. Deje $f$ ser la velocidad de la función, con $f(0)=v_0$$f(T)=v_1$. Entonces $$\int_0^T f(t)\; dt=D$$ Tal $f$ definitivamente no es único, sino que podemos encontrar una simple $f$, asumiendo que es un polinomio cuadrático $$f(t)=a+b\cdot t+c\cdot t^2$$ El valor de límite condiciones implican que $a=v_0$$b=(v_1-v_0-c\cdot T^2)/T$. Enchufe esta en, integrar, igual a $D$, y resolver para $c$ encontrar ese $c=(3T\cdot(v_0+v_1)-6D)/T^3$ (yo usé WolframAlpha para acelerar las cosas). Así $$f(t)=v_0+{6D-2T(v_1+2v_0)\over T^2}\cdot t+{3T(v_0+v_1)-6D\over T^3}\cdot t^2$$ satisface nuestras limitaciones.

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Vamos a hacer un ejemplo. Tomar $D=1230$, $v_0=v_1=120$, $T=10$. Entonces $$f(t)=120+{9\over 5}t-{9\over 50}t^2$$ WolframAlpha calcula la integral y nos hace una foto.

Otro. Tomar $D=700$, $v_0=v_1=120$, $T=10$. Entonces $$f(t)=120-30\cdot t+3\cdot t^2$$ WolframAlpha de nuevo por la foto.

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Por último, quiero mostrar cómo se puede "normalizar" el problema, por lo que podemos suponer $D$ $T$ igualdad $1$.

Tenemos una solución sencilla para el problema $$f(0)=w_0,\ f(1)=w_1,\ {\rm and}\ \int_0^1 f(t)\; dt=1$$ dada por $$f(t)=w_0+(6-2w_1-4w_0)\cdot t+3(w_0+w_1-2)\cdot t^2$$ Podemos transformar esto en una solución del problema $$F(0)=v_0,\ F(T)=v_1,\ {\rm and}\ \int_0^T F(t)\; dt=D$$ mediante el establecimiento de $w_0=T\cdot v_0/D$, $w_1=T\cdot v_1/D$ en la fórmula anterior para $f$ y el uso de $$F(t)={D\over T}\cdot f\big(t/T\big)$$ Entonces $F(0)={D\over T}\cdot f(0)={D\over T}\cdot w_0=v_0$, $F(T)={D\over T}\cdot f(1)=v_1$, y $$\int_0^T F(t)\; dt={D\over T}\int_0^T f\big(t/T\big)\; dt=D\int_0^1 f(t)\; dt=D$$ donde la segunda igualdad se utiliza el cambio de las variables de $t\rightarrow T\cdot t$.

Por ejemplo, el uso de $v_0=v_1=3$, $T=2$, y $D=4$, $w_0=w_1=6/4$ y $$f(t)={6\over 4}-3\cdot t+3\cdot t^2$$ Entonces $$F(t)=2\cdot f(t/2)=3-3\cdot t+{3\over 2}\cdot t^2$$

Answer 2

La física del problema puede ser representado por la siguiente ecuación:

$$s = ut + \frac{a t^2}{2}$$

donde,

$s$ es la distancia recorrida en el tiempo $t$,

$u$ es la velocidad de inicio y

$a$ es la aceleración.

Ahora, por simetría, que necesitas para viajar a 350 pies en un 5 segundos de intervalo. Por lo tanto, utilizando la ecuación anterior, tenemos:

$$350 = 120 \cdot 5 + \frac{a \cdot 5^2}{2}$$

Por lo tanto, usted debe deccelrate en: 20 pies por segundo.

Su velocidad al final de la primera etapa estaría dado por: $v = u + at = 120 -20 \cdot 5 = 20 \ \text{ft/sec}$

Durante la segunda etapa, usted necesita para terminar con una velocidad de 120 m/s en 5 segundos. Por lo tanto, usted necesita para acelerar a una velocidad de:

$$\frac{120-20}{5} = 20 \ \text{ft/sec}$$

y recorrer una distancia de:

$$S = \frac{1}{2} (u+v)t = \frac{1}{2} (20+120)5 =350 $$

Por lo tanto, usted ha viajado a 700 pies con la deseada de inicio y finalización de velocidades con un apropiado de aceleración y desaceleración.

Ver las ecuaciones de movimiento en la wiki para obtener más detalles.

Enfoque General

Cantidades Conocidas:

$u$ ser la velocidad inicial,
$v$ ser la velocidad final,
$s$ ser la distancia que necesita para viajar y
$t$ el tiempo en el que usted necesita para viajar por encima de la distancia.

Vamos a:

$a$ representan deseada de aceleración (si es necesario) y
$d$ representan deseada de la desaceleración (si es necesario)

Asumiendo $v \ge u$, si el siguiente conjunto de ecuaciones tiene la misma solución para$a$, entonces usted está listo:

$$s = ut + \frac{a t^2}{2}$$

$$ v = u + at$$

Si el conjunto de ecuaciones que no tienen una solución única para la $a$ debe ser en el caso de que cualquiera de las $v$ es demasiado alto en relación a$u$, de modo que se excede $s$ en el tiempo de duración de $t$ o $v$ es demasiado bajo para que no viaje a la distancia total $s$ en el tiempo de duración de $t$.

En el primer caso, usted necesita para desacelerar en primer lugar, para no viajar tanta distancia en los primeros segundos y, a continuación, acelerar hasta alcanzar la velocidad deseada sobre el resto de la distancia y el tiempo. Cuánto desacelerar/acelerar y el tiempo pasado en cada pierna dependerá de la magnitud relativa de las cantidades conocidas.

En el segundo caso, usted necesita para acelerar primero y luego desacelerar. De nuevo la magnitud de la aceleración/desaceleración y los tiempos de pasado en cada pierna dependerá de la magnitud de las cantidades conocidas.

En cualquier caso, usted debe ser capaz de establecer ecuaciones con tres incógnitas: $a$ (es decir, desconocido aceleración), $d$ (es decir, desconocido desaceleración) y $t'$ (es decir, la cantidad de tiempo que para el primer tramo del viaje) y resolver el sistema resultante para encontrar los valores adecuados.