Bueno, tengo una prueba para ti, pero no es la más elegante.
Supongamos primero que $\cos(x+1)$ $\cos(x-1)$ tienen signos opuestos, entonces
$$|\cos(x+1)|+|\cos(x-1)|=|\cos(x+1)-\cos(x-1)|=|2\sin (1) \sin x|$$
Ahora $$|2\sin 1 \sin x+\cos x |\leq |2\sin 1 \sin x|+|\cos x|$$
Ahora un poco de cálculo, el mínimo de $a\sin x+\cos x$ se produce cuando $\tan x =a$, por lo que su valor mínimo es de
$$a\sin x+\cos x=\cos x(a\tan x+1)=\cos x (\tan^2 x+1) =\sec x=\sqrt{a^2+1}$$
Ahora $\frac{3}{2}\leq \sqrt{a^2+1}$ mantiene si $\frac{\sqrt{5}}{2} \leq a$ y desde $a=2\sin 1$ tenemos que ver que $\frac{\sqrt{5}}{4} \leq \sin 1$. Pero $\frac{\pi}{4} < 1$, por lo que nos limitamos a mostrar $\frac{\sqrt{5}}{4} \leq \frac{1}{\sqrt{2}}$ que es fácil.
Ahora consideremos lo que sucede si $\cos(x+1)$ $\cos(x-1)$ tiene signos de igual. Sólo para fijar ideas, supongamos que son positivos. A continuación, para una adecuada $n$,
$$-(\frac{\pi}{2}-1) < x+2\pi n < \frac{\pi}{2}-1$$ así, en particular,
$$\sin 1=\cos (\frac{\pi}{2}-1)\leq \cos x$$.
Ahora en este caso tenemos
$$|\cos(x)|+|\cos(x+1)|+|\cos(x-1)|=|\cos(x)+\cos(x+1)+\cos(x-1)|=|\cos(x)(2\cos 1 +1)|$$
Así, con la desigualdad anterior tenemos que mostrar
$$\frac{3}{2}\leq |\sin 1(2\cos 1 +1)|.$$
Ahora
$\sin 1(2\cos 1 +1)=\sin 2+\sin 1$
el uso de $2 < \frac{2\pi}{3}$ $\frac{\pi}{4}<1$ hemos
$$\frac{\sqrt{3}}{2}\leq \sin 2$$
$$\frac{\sqrt{2}}{2}\leq \sin 1$$
Así que tenemos $$\frac{3}{2}\leq \frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{2}}{2}$$, que es fácilmente controlado.
