Demostrar que $f(x)=8$ para todos los números naturales $x\ge{8}$

Question

Una función de $f$ es tal que $$f(a+b)=f(ab)$$ for all natural numbers $a,b\ge{4}$ and $f(8)=8$. Prove that $f(x)=8$ for all natural numbers $x\ge{8}$

Answer 1

Sí. Es cierto que $f(x) = 8 \quad \forall\;\;\; x \in N $

Manualmente, se puede demostrar esto para $x \le 20$.

Ahora, vamos a $x$ ser incluso. $x = 2y$ algunos $y$. $$f(2y)=f((2y-4) +(4))=f(4(2y-4))=f(8(y-2))=f(8+y-2)=f(y+6)$$ Nota: Esto sólo es cierto si el $y-2$ factor es mayor que $4$, así que vamos a $y \ge 6$.

Del mismo modo, si $x$ es impar, $x = 2y + 1$ algunos $y$. $$f(2y+1)=f((2y-4)+5)=f(5(2y-4))=f(10(y-2))=f(10 + y-2)=f(y+8)$$ Nota: de igual manera, este tiene la misma condición de $y \ge 6$.

Y podemos ver que $2y > y+6$ $2y+1 > y+8$ $y\ge6$. ($y > 7$ para el segundo caso). Por lo tanto, para cualquier $f(m)$, podemos encontrar $f(n)=f(m)$ $n < m $. Así, después de la reducción, se obtiene un número menor que 20 que puede comprobarse manualmente igual a $8$.

Por lo tanto, $f(x) = 8\;\;\; \forall \;\;\; x \in N$