Es homología determinado por cohomology?

Question

Soy consciente de la universal de los coeficientes teorema de cohomology lo que implica que la homología de grupos completamente determinar la cohomology grupos. Me pregunto si cohomology determina la homología en un sentido similar? Si dos espacios tienen la misma cohomology grupos de ellos no necesariamente tienen la misma homología de grupos? Podemos calcular la homología de grupos de la cohomology grupos?

Soy consciente de la dualidad de Poincaré - esto sólo se aplica a "agradable" espacios - viendo como la homología determina cohomology en el anterior sentido general de los espacios, me preguntaba si todavía tiene la conmutación de las funciones de la homología y cohomology.

El universal coeficientes teorema de homología nos dice acerca de cómo el grupo de homología con coeficientes arbitrarios se relaciona con el número entero de homología de grupos -, así que supongo que este no es el resultado que estoy buscando.

Gracias!

Answer 1

Supongamos que $X$ es un espacio de tal manera que toda su homología de grupos finitely generado. Esto es, por ejemplo, si $X$ es un "levelwise finito" CW complejo (un número finito de celdas en cada dimensión), el cual es muy amplio clase de espacios. Luego universal coeficientes implica que todos los cohomology grupos son también finitely generado. Por otra parte, el isomorfismo de la clase de cada uno de homología y cohomology grupo está determinado por el rango de torsión y subgrupo, y universal implica que los coeficientes de

• $H^k(X, \mathbb{Z})$ $H_k(X, \mathbb{Z})$ tienen el mismo rango, y
• La torsión de los subgrupos de $H^k(X, \mathbb{Z})$ es isomorfo a la torsión de los subgrupos de $H_{k-1}(X, \mathbb{Z})$.

Por eso, las dos secuencias de clases de isomorfismo de grupos de determinar cada uno de los otros en este caso. Son casi lo mismo, excepto que la torsión de los subgrupos se desplazan de un grado.

Sin finitely generado hipótesis de que esto no es cierto. Para cada grupo abelian $A$ y un entero positivo $n \ge 1$ es posible construir un Moore espacio de $X = M(A, n)$, que es un espacio cuya homología se desvanece, excepto en el grado $n$, donde es isomorfo a $A$, y en el grado $0$, donde es $\mathbb{Z}$. Universal de los coeficientes, la cohomology de Moore espacio es

• $H^0(X, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{Z}$
• $H^n(X, \mathbb{Z}) \cong \text{Hom}(A, \mathbb{Z})$
• $H^{n+1}(X, \mathbb{Z}) \cong \text{Ext}^1(A, \mathbb{Z})$

y todos los demás cohomology se desvanece. Así que la pregunta es si un grupo abelian $A$ se determina hasta el isomorfismo por el isomorfismo de la clase de $\text{Hom}(A, \mathbb{Z})$$\text{Ext}^1(A, \mathbb{Z})$, y la respuesta es no. Contraejemplos no puede ser finitely generado: el primero que me viene a la mente es la siguiente. Tenemos

$$\text{Hom}(\mathbb{Q}, \mathbb{Z}) = 0$$

(directo) y

$$\text{Ext}^1(\mathbb{Q}, \mathbb{Z}) \cong \mathbb{R}$$

(no trivial), y $\text{Ext}^1(-, -)$ conserva directa sumas de dinero en el primer factor, por lo que se deduce que los grupos de $\mathbb{Q}$ $\mathbb{Q} \oplus \mathbb{Q}$ no puede ser distinguido de esta manera, ya que los dos grupos no isomorfos, pero $\mathbb{R} \cong \mathbb{R} \oplus \mathbb{R}$ (como abelian grupos).